Analytische Geometrie - 3D

Andreas Lindner, Hubert Dammer, Dec 24, 2016

Table of Contents

  1. Vektoren
    1. Kreuzprodukt von zwei Vektoren
    2. Winkel zwischen Vektoren
  2. Volumen
    1. Volumen eines Parallelepipeds
  3. Geraden im Raum
    1. Wahre Länge
    2. Kreuzende Geraden (3D)
    3. Abstand eines Punktes von einer Geraden
    4. Berechnung des Abstands Punkt - Gerade
    5. Schnitt zweier Geraden
  4. Ebenen im Raum
    1. Ebene Punkt-Richtungsform
    2. Schnitt von 3 Ebenen
    3. Schnitt Gerade - Ebene
    4. Hesse´sche Ebenendarstellung
  5. Pyramide
    1. Pyramide 1
  6. Kugel
    1. Schnitt von drei Kugeln
    2. Kugelkoordinaten
    3. Kürzeste Flugroute

1.

Vektoren

  • 1. Kreuzprodukt von zwei Vektoren
  • 2. Winkel zwischen Vektoren

1.1.

Kreuzprodukt von zwei Vektoren

Unter dem [b]Kreuzprodukt [/b]oder [b]Vektorprodukt [/b]von zwei Vektoren [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math] versteht man jenen Vektor [math]\vec{c}[/math] - geschrieben als [math]\vec{a} \times \vec{b}[/math] - , der folgende Eigenschaften erfüllt:[br][list=1][br][*] [math]\vec{a} \times \vec{b}[/math] steht normal auf [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math].[br][*][math]|\vec{a} \times \vec{b}|[/math] gibt den Flächeninhalt des von den Vektoren [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math] aufgespannten Parallelogramms an.[br][*][math]\vec{a}[/math], [math]\vec{b}[/math] und [math]\vec{c}[/math] bilden ein Rechtssystem.[br][/list]
Andreas Lindner
– Andreas Lindner

1.2.

–

2.

Volumen

  • 1. Volumen eines Parallelepipeds

2.1.

Volumen eines Parallelepipeds

Das Volumen eines Parallelepipeds kann mit der Formel [math]V = \left\vert \left( \vec{a} ×\vec{b} \right) \cdot \vec{c} \, \right\vert [/math] berechnet werden, [br]wobei [math]\vec{a} = \vec{AB}, \, \vec{b} = \vec{AC}[/math] und [math]\vec{c} = \vec{AE}[/math].[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Bewege den Eckpunkt E parallel zur Grundfläche. [br]Warum ändert sich in diesem Fall der Wert des Volumens nicht?
Andreas Lindner
– Andreas Lindner

3.

Geraden im Raum

  • 1. Wahre Länge
  • 2. Kreuzende Geraden (3D)
  • 3. Abstand eines Punktes von einer Geraden
  • 4. Berechnung des Abstands Punkt - Gerade
  • 5. Schnitt zweier Geraden

3.1.

Wahre Länge

Veranschaulichung der wahren Länge einer Strecke s.
Andreas Lindner
– Andreas Lindner

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

4.

Ebenen im Raum

  • 1. Ebene Punkt-Richtungsform
  • 2. Schnitt von 3 Ebenen
  • 3. Schnitt Gerade - Ebene
  • 4. Hesse´sche Ebenendarstellung

4.1.

Ebene Punkt-Richtungsform

– Hubert Dammer

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

5.

Pyramide

  • 1. Pyramide 1

5.1.

Pyramide 1

Die Punkte A(6|1|12), B(-6|-2|9), C(-2|-7|-2) und D sind die Basis einer geraden Pyramide mit quadratischer Grundfläche.[br]a) Bestimme D als Schnittpunkt der Ebene ε: 2x + y - 4z = 12 mit der Geraden g: X = (6|-2|1) + t·(2|-1|0) und weise nach, dass sich D mit A,B und C zu einem Quadrat ergänzt.[br]b) Ermittle die Koordinaten S der Spitze der Pyramide, wenn die Höhe 9 LE beträgt (2 Möglichkeiten).
Pyramide 1
Andreas Lindner
– Andreas Lindner

6.

Kugel

  • 1. Schnitt von drei Kugeln
  • 2. Kugelkoordinaten
  • 3. Kürzeste Flugroute

6.1.

Schnitt von drei Kugeln

Das Applet zeigt die Konstruktion und die Berechnung eines Schnittpunkts von 3 Kugeln.[br][br]Bewege die Mittelpunkte der Kugeln.
Andreas Lindner
– Andreas Lindner

6.2.

–

6.3.

–

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