In un triangolo qualsiasi il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due lati, diminuita del doppio prodotto della misura di tali lati per il coseno dell'angolo tra essi compreso.

Consideriamo il triangolo [math]ABC[/math] e tracciamo l'altezza [math]CH[/math] relativa alla base [math]AB[/math]. Nel triangolo rettangolo [math]CHB[/math], per il teorema di Pitagora, si ha [math]CB^2=CH^2+HB^2[/math] e, considerando il triangolo rettangolo [math]CHA[/math], per il primo teorema sui triangoli rettangoli possiamo scrivere [math]CH=b\sin\alpha[/math] e [math]AH=b\cos\alpha[/math]. Inoltre si ha [math]HB=AB-HB[/math] da cui segue [math]HB=c-b\cos\alpha[/math].[br][br]Sostituendo le precedenti relazioni nell'espressione [math]CB^2=CH^2+HB^2[/math] otteniamo:[br][br][math]a^2=b^2\sin^2\alpha+(c-b\cos\alpha)^2[/math][br][math]a^2=b^2\sin^2\alpha+c^2-2bc\cos\alpha+b^2\cos^2\alpha[/math][br][math]a^2=b^2(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)+c^2-2bc\cos\alpha[/math][br][br]Ricordando l'identità fondamentale della goniometria giungiamo alla tesi del teorema:[br][br][math]a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha[/math]