M - Pýthagorova věta, Eukleidovy věty
Table of Contents
- Úvod
- Odkazy
- Formulace Pýthagorovy věty
- Pýthagorova věta je OBECNÉ tvrzení
- Důkazy Pýthagorovy věty
- (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 ---> geometricky
- Pýhagorova věta - evidentní důkaz
- Pýthagorova věta - Eukleidův důkaz
- Pýthagorova věta - Pýthagorův důkaz
- Pythagorova věta - důkaz Leonarda da Vinci
- Vztah mezi Pythagorovým a Leonardovým důkazem
- Pythagorova věta - Indický důkaz
- Zobecnění Pýthagorovy věty
- Eukleides - VI.31 (Zobecněná Pythagorova věta)
- Pythagorova věta - Pólyův důkaz + zobecněná PV
- Kosinová věta
- Pýthagorejské trojice
- Pýthagorejské trojice
- 3k,4k,5k a 5k,12k,13k
- plynule mocneni_verze 2
- Nalezení PYTR= umocnění komplexního čísla na druhou mocninu.
- Umocnění komplexního čísla na druhou mocninu = rotace + natažení.
- Umocnění = nalezení PYTR
- Umocnění = nalezení PYTR - obecně
- Parabolická mříž -- fáze 1
- Parabolická mříž -- fáze 2
- Parabolická mříž -- fáze 3
- Parabolická mřížka
- Umocnění lineární mřížky -- mřížka parabolická
- Mřížkové body parabolické mřížky = pýthagorejské trojice
- Nejjednodušší pýthagorejská trojice.
- Všechny možné PYTR = násobky bodů z parabolické mřížky
- Hippokratovy měsíčky
- Úvod
- Hipp 1 - rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník
- Hipp 2 - rovnoramenný lichoběžník
- Hipp 3 - nekonvexní osově souměrný pětiúhelník
- První Hippokratův měsíček (m=2)
- Druhý Hippokratův měsíček (m=3)
- Třetí Hippokratův měsíček (m=3/2)
- Hippokratova mladická nerozvážnost
- Alhazenovy měsíčky
- Leonardův dráp!
- Leonardovo zrcadlo
- Eukleidovy věty
- Eukleidova věta o výšce a věta k ní obrácená
- Příklady
- Přeměna obdélníku na čtverec, konstrukce odmocniny, geometrický průměr
- Jizerský šestiúhelník
- Souvislosti
- Pythagorův květ
- Nesouměřitelnost strany a úhlopříčky čverce
Odkazy
[url=http://www.dml.cz/handle/10338.dmlcz/402875]Pythagorova věta - Stanislav Horák [/url](1949)[br][url=https://www.geogebra.org/book/title/id/2625155?doneurl=https://www.geogebra.org/material/show/id/2760533#material/2656873]Eukleidovy Základy ve školské matematice[/url]
(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 ---> geometricky
Eukleides - VI.31 (Zobecněná Pythagorova věta)
viz [url=https://tube.geogebra.org/material/edit/id/2771715?doneurl=http%3A%2F%2Ftube.geogebra.org%2Fmaterial%2Fshow%2Fid%2F2771715&viewurl=%2Fbook%2Ftitle%2Fid%2F2625155%3Fdoneurl%3Dhttp%3A%2F%2Ftube.geogebra.org%2Fmaterial%2Fshow%2Fid%2F2771715%23material%2F2771715]Eukleidovy Základy ve školské matematice[/url]
Pýthagorejské trojice
Fantasmagorické vídeo!
Bod B je po-hyblivý.
Úvod
Odkazy:
[list][*][url=http://www4.wittenberg.edu/academics/mathcomp/bjsdir/TheFiveLunes120408.pdf]5 měsíčků[/url][br][/*][*][url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/elements/bookVI/propVI31.html]Základy - souvislost se zobecněnou PV[/url][/*][*][url=https://www.google.cz/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=0ahUKEwi7yNbKyqHLAhVknnIKHdYJDW0QFggiMAE&url=http%3A%2F%2Fwww.ms.uky.edu%2F~corso%2Fteaching%2Fmath330%2FHippocrates.pdf&usg=AFQjCNFvpFJquNjq0HiaZKaq-jsK44_eVA&sig2=iWGHH4_1PEzA5cFfNGCnRA&bvm=bv.115339255,d.bGs&cad=rja]Alberto Corso[/url][/*][*][url=http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PythagoreanLune.shtml#]Cut the Knot[/url][/*][*][url=https://en.wikipedia.org/wiki/Lune_of_Hippocrates]Wiki[/url][/*][*][url=http://divisbyzero.com/2012/06/18/puzzler-a-squarable-region-from-leonardo-da-vinci/]Leonardo[/url][/*][*][url=http://www.mathteacherctk.com/blog/2011/10/18/curvy-dissections/]Leonardo 2[/url][/*][*][url=http://www.mathpages.com/home/kmath171/kmath171.htm]5 měsíčků 2[/url][/*][*][url=https://en.wikipedia.org/wiki/Alhazen]Alhazen[/url][/*][*][url=http://math2.uncc.edu/~frothe/3181alleuclid1_18.pdf]The Lunes of Hippocrates[/url][/*][*][url=http://www.wwu.edu/teachingmathhistory/docs/psfile/lune1-teacher.pdf]Squaring of the Lunes[/url] ([url=http://www.wwu.edu/teachingmathhistory/docs/psfile/lune1-student.pdf]zadání pro studenty[/url]) ([url=http://www.wwu.edu/teachingmathhistory/problemsets.shtml]další problémy[/url])[br][/*][*][url=https://www.pf.jcu.cz/stru/katedry/m/knihy/DejinyM.pdf]Dějiny matematiky[/url][/*][*][url=http://class.pedf.cuni.cz/NewSUMA/FileDownload.aspx?FileID=34]Nečasová - dva náměty[/url][/*][*][url=http://dml.cz/handle/10338.dmlcz/400590]Hrdinský věk řecké matematiky[/url]. Bečvář, Jindřich[br][/*][/list]
Úvodní pojmy:
Hippokratés z Chiu se v rámci hledání řešení kvadratury kruhu (nalezení eukleidovské konstrukce čtverce - přesněji jeho strany - který má stejný obsah jako daný kruh) zabýval možnostmi kvadratury speciálních zakřivených útvarů - [b]měsíčků[/b] (menisků). Měsíček je útvar vytvořený dvěma kruhovými oblouky:
Měsíčků existuje nekonečně mnoho - v závislosti na velikostech poloměrů a vzdálenosti středů obou kružnic (a tedy na úhlech [math]\alpha[/math] a [math]\beta[/math]). Avšak jejich KVADRATURU lze provést [b]pouze pro 5 vhodných kombinací[/b] čísel [math]r_{\alpha}[/math], [math]r_{\beta}[/math], [math]\alpha[/math], [math]\beta[/math]. To, že těchto možností je pouze 5, bylo dokázáno až ve 20. století. Avšak všech 5 možností už bylo objeveno dříve. Sám [b]Hippokrates objevil 3 měsíčky,[/b] jejichž kvadraturu lze provést a zbylé 2 měsíčky byly objeveny v až v 18. a 19. století.
5 vhodných kombinací:
[url=http://www4.wittenberg.edu/academics/mathcomp/bjsdir/TheFiveLunes120408.pdf]Lze dokázat[/url], že měsíček, jehož kvadratura je možná, musí splňovat [b]2 podmínky[/b]:[br][list=1][*]Poměr úhlů [math]\beta[/math] ku [math]\alpha[/math] (označme ho [math]m[/math]) musí být roven opačnému poměru druhých mocnin příslušných poloměrů, tedy: [math]m=\frac{\beta}{\alpha}=\frac{r_{\alpha}^2}{r^2_{\beta}}[/math] [/*][*]Poměr [math]m[/math] může nabývat pouze jedné z pěti hodnot: [math]m=2[/math]; [math]m=3[/math]; [math]m=\frac{3}{2}[/math]; [math]m=5[/math] a [math]m=\frac{5}{3}[/math] (První [b]tři odpovídají měsíčkům Hippokratovým[/b])[/*][/list][br]Z první podmínky vyplývá [math]\alpha\cdot r^2_{\alpha}=\beta\cdot r^2_{\beta}[/math]. To ale znamená, obsahy příslušných úsečí jsou shodné! (Obsah úseče je polovina středového úhlu v úhlové míře krát poloměr na druhou). Jaký to má důsledek:
[list][*]Ve všech pěti případech je tedy možné převést měsíček na [b]čtyřúhelník ABCD[/b] (ve tvaru [color=#1e84cc]šipky[/color] jako zde - pro [math]\beta[/math] menší než úhel pravý) nebo ve tvaru [color=#1e84cc]rovnoramenného trojúhelníku [/color](pro[math]\beta=90^{\circ}[/math]) či ve tvaru [color=#1e84cc]draka[/color] - pro [math]\beta[/math] větší než je úhel pravý). Ale každý mnohoúhelník lze převést eukleidovsky na [b]čtverec[/b] a tím dokončit kvadraturu.[br][/*][*]V každém z pěti případů kvadratury měsíčku navíc existuje ještě [b]další mnohoúhelník[/b], jehož obsah je roven obsahu měsíčku - to uvidíme dále.[/*][/list]
Základní Hippokratovo východisko - kruhové úseče:
[b]Podobnost: [/b]Dvě kruhové úseče (resp. výseče nebo jen oblouky) jsou podobné, právě když mají stejný středový úhel.
[b]Tvrzení:[/b] Poměr obsahů dvou [i]podobných[/i] kruhových úsečí je roven poměru obsahů čtverců sestrojených nad jejich tětivami. (Platí i pro výseče.)
Eukleidova věta o výšce a věta k ní obrácená
Hypotéza:
Eukleidova věta o výšce (formulace 1):
[size=150][color=#1e84cc]V [/color][color=#980000]každém [/color][color=#980000]pravoúhlém[/color][color=#1e84cc] trojúhelníku je obsah čtverce sestrojeného nad výškou k přeponě roven obsahu obdélníka, jehož strany tvoří úseky přepony rozdělené touto výškou. ([/color][math]v^2=c_a\cdot c_b[/math][color=#1e84cc])[/color][/size]
Je dobré si uvědomit, že věta má formu IMPLIKACE (stejně jako věta Pythagorova):
Eukleidova věta o výšce (formulace 2):
[size=150][color=#980000]Je-li[/color][color=#1e84cc] daný trojúhelník [/color][color=#980000]pravoúhlý[/color][color=#1e84cc], [/color][color=#980000]potom[/color][color=#1e84cc] je obsah čtverce sestrojeného nad výškou k přeponě roven obsahu obdélníka, jehož strany tvoří úseky přepony rozdělené touto výškou. ([/color][math]v^2=c_a\cdot c_b[/math][color=#1e84cc])[/color][/size]
Důkaz 1 (Eukleidův důkaz pomocí podobnosti trojúhelníků):
Důkaz provedeme ve dvou krocích:[br][list=1][*]Dokážeme větu, že [b][color=#1e84cc]výška na přeponu rozdělí pravoúhlý trojúhelník na dva trojúhelníky jemu podobné[/color][/b]. Tato věta je v Eukleidových Základech [url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVI/propVI8.html]větou VI.8[/url][/*][*]Z této věty nyní snadno vyvodíme požadovaný vztah [math]v^2=c_a\cdot c_b[/math]. Viz [url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVI/propVI8.html]důsledek[/url] věty VI.8 v Základech[/*][/list]
[list][*]Krok 1 ([url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVI/propVI8.html]Základy VI/8[/url]):[br][/*][/list]
[list][*]Krok 2 ([url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVI/propVI8.html]Základy - důsledek věty VI/8[/url]):[br][/*][/list]
Důkaz 2 (pomocí přeskupení ploch):
[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_mean_theorem#Proof]viz Wikipedie [/url]
Důkaz 3 (pomocí shodnosti trojúhelníků):
Věta obrácená k Eukleidově větě o výšce (kritérium pravoúhlosti trojúhelníku):
Stejně jako pro Pythagorovu větu i zde existuje věta obrácená:[br][br][size=150][color=#980000]Pokud[/color][color=#1e84cc] v daném trojúhelníku platí, že obsah čtverce sestrojeného nad výškou je roven obsahu obdélníka, jehož strany tvoří úseky strany rozdělené touto výškou ([/color][math]v^2=c_a\cdot c_b[/math][color=#1e84cc]), [/color][color=#980000]potom[/color][color=#1e84cc] je tento trojúhelník [/color][color=#980000]pravoúhlý[/color][color=#1e84cc] s pravým úhlem proti této straně.[/color][/size]
Tato obrácená věta se používá, pokud potřebujeme dokázat, že daný trojúhelník je pravoúhlý (jako [i][color=#1e84cc]kritérium pravoúhlosti trojúhelníku[/color][/i]) [url=http://ggbtu.be/m2719731]viz příklad[/url]
Důkaz věty obrácené:
Poznámka:
Eukleidova věta o výšce je přisuzována Eukleidovi, který ji vyslovil jakožto [b][url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVI/propVI8.html]důsledek[/url][/b] tvrzení VI/8 svých [url=https://www.geogebra.org/material/simple/id/2625155]Základů[/url] (viz též [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_mean_theorem]wikipedie[/url]). Zde se pojímá vztah [math]v^2=c_ac_b[/math] jako [color=#1e84cc][i]geometrický průměr[/i][/color] dvou čísel - [math]v=\sqrt{c_ac_b}[/math]. [i][color=#1e84cc]Přeměna mnohoúhelníku na čverec[/color][/i] se ale objevuje už ve [url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookII/propII14.html]II/14[/url].[br]Viz příklad "[url=http://ggbtu.be/m2663735]Přeměna obdélníku na čtverec, konstrukce odmocniny, geometrický průměr[/url]"
Přeměna obdélníku na čtverec, konstrukce odmocniny, geometrický průměr
Zadání
Je dán obdélník [math]ABCD[/math] o rozměrech [math]a=5[/math] a [math]b=2[/math]. [br][list=1][*]Přeměňte tento obdélník na čtverec, tj. najděte úsečku délky [math]x[/math], která je stranou čtverce o stejném obsahu, jako je obsah tohoto obdélníka[/*][*]Najděte úsečku délky [math]x=\sqrt{10}[/math].[/*][*]Najděte úsečku, jejíž délka [math]x[/math] je geometrickým průměrem délek úseček [math]a[/math] a [math]b[/math].[br][/*][/list]
Úvaha:
Všechny tři úlohy jsou totožné:[br][list=1][*][math]S_{čtverce}=S_{obdélníka}\Longrightarrow x^2=a\cdot b\Longrightarrow x=\sqrt{ab}[/math][br][/*][*][math]x=\sqrt{10}=\sqrt{5·2}=\sqrt{ab}[/math][br][/*][*]Geometrický průměr čísel [math]a[/math] a [math]b[/math] je definován jako [math]x=\sqrt{ab}[/math][br][/*][/list]Vztah [math]x^2=a\cdot b[/math] lze chápat jako:[br]a) Euklidovu větu o [b]odvěsně[/b][br]b) Euklidovu [url=http://ggbtu.be/m2751319]větu o [b]výšce[/b][/url]
a) Řešení pomocí euklidovy věty o odvěsně (EVO):
Rozbor:
Konstrukce: