[color=#cc0000][size=50][right][color=#980000][i][b]Jan. 2019: ergänzt um einige weitere Werkzeuge[br][/b][/i][/color][br]Aktualisiert am 18.02.2018: ein hyperbolischer [url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh#material/eHMftmsZ]Gärtner[/url] [br]bereitet die hyperbolische Ebene auf den Frühling vor.[br]24.03.2018: Jetzt gibt es auch [url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh#material/U75Q3w8w]Gärten auf der Kugel![/url][/right][/size][/color]Durch 5 (verschiedene) Punkte [i]in allgemeiner Lage[/i] geht genau ein Kegelschnitt: [icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon].[br][i]Kurze Begründung[/i]: 4 der Punkte [math]\mathbf{P}_1,..,\mathbf{P}_5[/math] kann man auf mindestens zwei verschiedene Weisen durch Geraden [math]\mathbf{g}_{ij}=\mathbf{P}_i\mathbf{P}_j[/math] verbinden (falls keine 3 kollinear sind). [math]\mathbf{g}_{12}\vee \mathbf{g}_{34}[/math] und [math]\mathbf{g}_{14}\vee \mathbf{g}_{23}[/math] sind 2 verschiedene zerfallende Kegelschnitte, die beide die 4 Punkte enthalten. Durch jeden weiteren Punkt der Ebene geht genau ein Kegelschnitt aus dem Büschel [math]\lambda\cdot\mathbf{g}_{12}\vee \mathbf{g}_{34}+\mu\cdot\mathbf{g}_{14}\vee \mathbf{g}_{23}[/math]. [br][br][size=85][size=100]Dies und viele anderen aufregende Dinge findet man in dem Buch "[i][b]Geometriekalküle[/b][/i]" von J. Gebert-Richter und Th. Orendt (Springer 2009).[/size][/size][br][br]Weitere nützliche Werkzeuge zum Experimentieren mit Kegelschnitten wären oder sind:[br][list][*]5 Geraden in allgemeiner Lage sind Tangenten eines eindeutig bestimmten Kegelschnitts.[/*][*]Zu 4 Punkten und einer Geraden gibt es in der Regel genau 2 Kegelschnitte durch die Punkte mit der Geraden als Tangente. Dies hat viel mit [b][i]konfokalen Kegelschnitten[/i][/b] zu tun![/*][*][i]Dual dazu[/i]: 4 Geraden und ein Punkt ...[/*][/list]Eindeutig wird es wieder dann, wenn [b]4 Punkte und eine Tangente in einem der Punkte[/b] vorgegeben sind. [br][br]Was ist der Grund für die obigen Aussagen über Kegelschnitte? [br]Wie berechnet man die gesuchten Kegelschnitte?[br]Welche Rechenmethoden sind hierzu nützlich?[br][br]Eigentlich basiert alles auf der [b]p-q-Formel[/b] und auf ein wenig [b]Linearer Algebra[/b].[br][i][br][b][u]Begründungen[/u][/b]: [/i]kurz ist die Begründung nur mit homogenen Koordinaten und in projektiver Betrachtungsweise![br]Punkte [math]\mathbf{p}=(x,y)[/math] verwenden wir in homogenen Koordinaten [math]\mathbf\vec{p}:=(x,y,1)[/math]. Verbindungsgeraden berechnen sich mit dem Kreuzprodukt: [math]\mathbf\vec{g}_{ij}=\mathbf\vec{p}_i\otimes\mathbf\vec{p}_j[/math], Schnittpunkte ebenfalls: [math]\mathbf\vec{p}_{ij}=\mathbf\vec{g}_i\otimes\mathbf\vec{g}_j[/math].[br]Ein Punkt [math]\mathbf\vec{p}[/math] liegt auf einer Geraden [math]\mathbf\vec{g}=(a,b,c)[/math], wenn das Skalarprodukt [math]\mathbf\vec{g}\circ\mathbf\vec{p} = a\cdot x+b\cdot y+c[/math] Null ergibt. [br]Mit diesen Grundlagen läßt sich Geometrisches trefflich kalkulieren (siehe das obengenannte Buch!).[br]Das Büschel von Kegelschnitten durch 4 vorgegebene Punkte erhält man durch die quadratischen Formen [br][math]\lambda\cdot\mathbf\vec{g}_{12}\vee \mathbf\vec{g}_{34}+\mu\cdot\mathbf\vec{g}_{14}\vee \mathbf\vec{g}_{23}[/math], ausgeschrieben mit [math]\mathbf\vec{p}=(x,y,1)[/math] und dem Skalarprodukt [math]\circ [/math]:[br][list][*][math]\left(\lambda\cdot\mathbf\vec{g}_{12}\vee \mathbf\vec{g}_{34}+\mu\cdot\mathbf\vec{g}_{14}\vee \mathbf\vec{g}_{23}\right)\; \left(\mathbf\vec{p},\mathbf\vec{p}\right) =\lambda\cdot\left(\mathbf\vec{g}_{12}\circ \mathbf\vec{p}\right)\cdot \left(\mathbf\vec{g}_{34}\circ \mathbf\vec{p}\right)+\mu\cdot\left(\mathbf\vec{g}_{13}\circ \mathbf\vec{p}\right)\cdot \left(\mathbf\vec{g}_{24}\circ \mathbf\vec{p}\right) [/math] [br][/*][/list]Die beiden elementaren quadratischen Formen [math]\mathbf\vec{g}_{12}\vee \mathbf\vec{g}_{34}[/math] und [math]\mathbf\vec{g}_{13}\vee \mathbf\vec{g}_{24}[/math] zerfallen jeweils in 2 Geraden, die 4 Punkte [math] \mathbf\vec{p}_1... \mathbf\vec{p}_4 [/math] liegen auf diesen zerfallenden Kegelschnitten.[br]Der Punkt [math]\mathbf\vec{p}[/math] liegt auf einem Kegelschnitt des Büschels, wenn die quadratische Form für [math]\mathbf\vec{p}[/math] Null ergibt. Daraus folgt die Kalkulation für [math]\lambda[/math] und [math]\mu[/math]: [br][list][*][math]\lambda=\left(\mathbf\vec{p}_1\otimes\mathbf\vec{p}_3\circ \mathbf\vec{p}\right)\cdot \left(\mathbf\vec{p}_2\otimes\mathbf\vec{p}_4\circ \mathbf\vec{p}\right)=\mathbf{det}\left(\mathbf\vec{p}_1, \mathbf\vec{p}_3,\mathbf\vec{p}\right)\cdot\mathbf{det}\left(\mathbf\vec{p}_2, \mathbf\vec{p}_4,\mathbf\vec{p}\right)[/math] und [math]\mu=-\left(\mathbf\vec{p}_1\otimes\mathbf\vec{p}_2\circ \mathbf\vec{p}\right)\cdot \left(\mathbf\vec{p}_3\otimes\mathbf\vec{p}_4\circ \mathbf\vec{p}\right)=\mathbf{det}\left(\mathbf\vec{p}_1, \mathbf\vec{p}_2,\mathbf\vec{p}\right)\cdot\mathbf{det}\left(\mathbf\vec{p}_3, \mathbf\vec{p}_4,\mathbf\vec{p}\right)[/math].[/*][/list]Diese [math]\mu[/math]´s werden manchmal als die [i][b]Plücker[/b][/i]schen [math]\mu[/math]'s bezeichnet: [b]J. Plücker (1801 - 1868)[/b] hat die herausragende Bedeutung der Determinanten und Unterdeterminanten für geometrisches Kalkulieren herausgearbeitet.[br][br][size=85]In Ge[icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon]Gebra erscheint uns das Werkzeug, um solche geometrischen Kalkulationen durchzuführen, (noch?) etwas lückenhaft: [br]Einzelne Punkte [math]\left(x,y\right)[/math] müssen in homogenen Koordinaten [math]\left(x,y,1\right)[/math] dargestellt werden, [br]Geraden [math]a\cdot x+b\cdot x+c=0[/math] [/size][size=85][size=85]müssen ebenfalls in homogene Koordinaten [math]\left(a,b,c\right)[/math][/size] umgewandelt werden. [br]Um die Determinante von 3 Vektoren [math]\left(a,b,c\right),\left(x,y,1\right),\left(u,v,w\right)[/math] auszurechnen, muss man etwas mühsam aus diesen eine Matrix [math]\left\{\left\{a,b,c\right\},\left\{x,y,1\right\},\left\{u,v,w\right\}\right\}[/math] erstellen, dabei ist die Determinante von Vektoren[/size] [math]\mathbf{det}\left(\mathbf\vec{p}_1, \mathbf\vec{p}_2,\mathbf\vec{p}_3\right)[/math] [size=85]direkt berechnen zu können in der Linearen Algebra wie in der Geometrie häufig nützlich. Hinderlich ist auch ein wenig die Inkonsistenz zwischen Vektoren und Listen. [br][br][right][size=50]Dieses Arbeitsblatt ist Teil des Geogebrabooks [url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh]Kegelschnitt-Werkzeuge[/url][/size][url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh][/url][/right][/size]