[size=150][color=#ff0000][size=200]RELAZIONI E FUNZIONI[/size][br][/color][/size]Definiamo una [color=#ff0000][b]relazione[/b][/color] tra due insiemi un qualsiasi legame tra di essi che associa ad un elemento del primo insieme uno o più elementi del secondo. Per dare un nome ad una relazione si utilizza una lettera minuscola. Facciamo un esempio.[br][br]Dati l'insieme delle lettere e quello delle parole, la relazione [b][i]p[/i][/b]: "[math]\large{x \rightarrow\ una\ parola\ che\ inizia\ con\ x}[/math]", permette di associare ad una lettera [math]x[/math] (ad esempio "c") la parola "casa", "cattedra" o altre; alla lettera "s" verranno associate parole come "stella", "studente" e così via. Se chiamiamo [math]y[/math] il risultato della relazione, cioè l'elemento associato ad [math]x[/math], possiamo descrivere la relazione scrivendo [b][i]p[/i][/b] : "[math]\large{y\ inizia\ con\ x}[/math]".

Si chiama [color=#ff0000][b]funzione[/b][/color] una relazione che ad ogni elemento del primo insieme associa [b]un solo elemento del secondo insieme[/b] (quindi se ha [b]un solo risultato[/b]). L'esempio visto sopra è una relazione ma [b]non[/b] è una funzione, perché data una lettera esistono ovviamente più parole che iniziano con quella lettera. Se invece consideriamo la relazione [b][i]i[/i][/b]:"[math]\large{y\ è\ l'iniziale\ di\ x}[/math]", mostrata qui sotto, abbiamo che ogni lettera ha una sola iniziale. La relazione [b][i]i[/i][/b] quindi è anche una funzione.

Una funzione può anche essere considerata una "relazione univoca", in quanto ad ogni elemento del primo insieme viene assegnato in modo univoco (cioè unico) l'elemento del secondo insieme. Avere una funzione, ovvero definire in maniera univoca il risultato, è particolarmente importante per le relazioni [i]matematiche[/i], dato che in genere è necessario che ogni operazione porti ad un solo risultato univocamente definito, cioè che sia lo stesso per chiunque stia applicando quell'operazione. [br][br][size=150][color=#ff0000][size=200]LE VARIABILI DI UNA FUNZIONE[/size][/color][/size][br][color=#ff0000]La [/color][math]\large{\textcolor{red}{x}}[/math], cioè l'elemento preso nel primo insieme, viene chiamata [color=#ff0000][b]variabile indipendente[/b][/color], perchè è un elemento che [color=#ff0000]varia[/color] (nell'esempio posso considerare varie parole) e può essere scelto [color=#ff0000]liberamente[/color] da chi utilizza la funzione; può anche essere considerato l'[color=#ff0000][b]input[/b][/color] che la funzione riceve ed a cui essa associa un [color=#0000ff][b]output[/b][/color], o [color=#0000ff][b]risultato[/b][/color], cioè la [math]\large{\textcolor{blue}{y}}[/math], il cui nome formale è [b][color=#0000ff]variabile dipendente[/color][/b] perché [color=#0000ff]dipende[/color] appunto dalla [math]x[/math] che abbiamo scelto in partenza: una volta scelta liberamente la [math]x[/math], la [math]y[/math] viene stabilita univocamente dalla funzione, e noi non abbiamo scelta in proposito. [br][br]Nell'esempio riportato sopra si può dire che [color=#0000ff]"s"[/color] è [color=#0000ff]l'output[/color] prodotto dall'[color=#ff0000]input "stella"[/color] secondo la funzione [b]i[/b]. [br][br]La [math]\large{\textcolor{blue}{y}}[/math] che viene trovata come risultato di una certa [math]\large{\textcolor{red}{x}}[/math] secondo una data funzione viene anche chiamata [b][color=#0000ff]immagine[/color][/b] della [math]\large{\textcolor{red}{x}}[/math] di partenza, che per contro può essere definita come [color=#ff0000][b]controimmagine[/b][/color] della [math]\large{\textcolor{blue}{y}}[/math] corrispondente. [br][br]Ad esempio [color=#0000ff]"m"[/color] è [color=#0000ff]l'immagine[/color] di [color=#ff0000]"micio"[/color] e di [color=#ff0000]"monte"[/color], che sono quindi sue [color=#ff0000]controimmagini[/color]; [color=#ff0000]"casa"[/color] è la [color=#ff0000]controimmagine[/color] dell'[color=#0000ff]output "c"[/color].[br][br]Le varie notazioni possibili per indicare le variabili di una funzione possono essere riassunte quindi nella seguente tabella:[br][br] [table] [tr][br] [td]x[/td][br] [td]y[/td][br][/tr][br] [tr][br] [td]variabile indipendente[/td][br] [td]variabile dipendente[/td][br][/tr][br] [tr][br] [td]input[/td][br] [td]output (risultato)[/td][br][/tr][br] [tr][br] [td]controimmagine[/td][br] [td]immagine[/td][br][/tr][br][/table][br]L'insieme dei valori nell'insieme di partenza per cui la funzione genera un risultato è detto [b]dominio[/b] (in Inglese: [i]domain[/i]) della funzione. L'insieme dei valori nell'insieme di destinazione che sono un risultato di qualche input (cioè che sono controimmagine di almeno una [math]\large{x}[/math] è detto codominio (in Inglese: [b]range[/b]).[br][br][size=150][color=#ff0000][size=200]FUNZIONI MATEMATICHE[/size][/color][/size][br][br]Abbiamo detto che avere una funzione, ovvero definire in maniera univoca il risultato, è particolarmente importante per le relazioni [i]matematiche[/i], cioè tra relazioni che prendono dei numeri come input ed output. Vediamo quindi qualche esempio di relazione matematica. [br]La relazione [b]f: [/b]"[math]\large{y\ è\ il\ doppio\ di\ x}[/math]" associa ad esempio al numero 3 il numero 6, a 7 associa 14 e così via. Un altro modo per descrivere questa relazione, particolarmente chiaro nel caso delle relazioni matematiche, è [math]\large{f:\ y=2x}[/math], che indica direttamente [b]l'espressione[/b] (o la [b]formula[/b], anche se stranamente questa parola non viene usato in questo ambito) che permette di calcolare il risultato [math]\large{y}[/math] partendo dall'input [math]\large{x}[/math].

Per esprimere la relazione tra un certo valore e la corrispondente immagine (cioè il risultato) fornito dalla funzione si scrive che[br] [br][math]\large{f(3)=6}[/math] [br][br]Che si legge : "f di 3 è uguale a 6", che probabilmente è il modo veloce per dire "il risultato secondo la legge [b][color=#ff0000]f d[/color][/b]ell'input [b][color=#ff0000]3 è uguale a 6[/color][/b]" - cioè quando Il [math]\large{3}[/math] viene messo "dentro" la funzione [math]\large{f}[/math] (cioè sostituito alla [math]\large{x}[/math]) e genera come risultato [math]\large{6}[/math]. Allo stesso modo possiamo scrivere [math]\large{f(15)=30}[/math]. Possiamo usare questa notazione per indicare relazioni più articolate, come [br][list][*][math]\large{f(7) \lt T}[/math] - "il risultato che si ottiene dall'input [math]\large{7}[/math] è minore di un certo numero [math]\large{T}[/math]"[/*][br][*][math]\large{f(3)=f(w)}[/math] - "il risultato dato dall'input [math]\large{3}[/math] è uguale quello ottenuto da un certo numero [math]\large{w}[/math]"[/*][/list] [br][color=#ff0000][b]IMPORTANTE[/b][/color]: È molto importante ricordare che le parentesi [b][color=#ff0000]non[/color][/b] indicano qui una moltiplicazione, ma semplicemente che [math]\large{y}[/math] si ottiene "inserendo" un valore [math]\large{x}[/math] nella funzione [math]\large{f}[/math], che restituisce appunto il risultato.[br][color=#0000ff][size=200][size=150]UNA NOTA "DI STILE"[/size][/size][/color][br][br]A differenza dei primi due esempi, che collegavano due insiemi diversi (quello delle lettere e quello delle parole), la funzione [i][b]f[/b][/i] parte e termina nello stesso insieme (quello dei numeri, ad esempio gli interi o i razionali). Si possono specificare l'insieme da cui la funzione prende i suoi input e quello in cui prende i suoi output con la notazione [math]\large{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}[/math] (ad esempio in questo caso affermiamo che la variabile indipendente (input) e quella dipendente (output) della funzione sono entrambe prese dall'insieme dei numeri reali. Nel diagramma di Venn le frecce dovrebbero quindi partire da un elemento di un insieme e terminare in un altro elemento [i]dello stesso insieme[/i], dato che sempre di numeri reali si tratta. Questa rappresentazione è più corretta anche perché i numeri che sono il doppio di qualche numero, hanno a loro volta un doppio, quindi non è possibile suddividere i numeri tra quelli che stanno in un insieme di partenza (le "metà") e quelli in un insieme di arrivo (i "doppi").[br][br][br]

Poiché questa rappresentazione è più corretta, ma rischia di essere meno chiara, ci riserveremo la licenza di utilizzare una rappresentazione a due insiemi, ove questo aiuti nella comprensione.[br][br][color=#ff0000][size=150][size=200]FUNZIONI BIUNIVOCHE[/size][/size][/color][br]La relazione [math]\large{f:y=2x}[/math]vista nell'esempio precedente è chiaramente una funzione, in quanto per ogni numero [math]\large{x}[/math] esiste una sola immagine [math]\large{y}[/math] corrispondente al suo doppio. Poiché vale anche il contrario, cioè ogni output [math]\large{y}[/math] ha una sola controimmagine [math]\large{x}[/math] corrispondente (detto in altri termini: ogni [math]\large{y}[/math] ha una sola [math]\large{x}[/math] che è la sua metà), la funzione si definisce [color=#ff0000][b]biunivoca[/b][/color]. La biunivocità è molto importante perché [b][color=#ff0000]una funzione può essere invertita solo se è biunivoca[/color] [/b](affronteremo il concetto di funzione inversa nei prossimi capitoli).[br][br]Un altro modo per dire che una funzione è biunivoca è che non ci sono due input che generano output uguale. La relazione [b][i]i[/i][/b] delle iniziali vista prima è una funzione (perché ad ogni parola corrisponde una sola iniziale), ma [b]non[/b] è una funzione biunivoca, perché non vale il viceversa (ad ogni iniziale corrispondono più parole).[br][br][color=#0000ff][b]NOTA LESSICALE[/b][/color]: In termini rigorosi quando una funzione genera per ogni input un output differente non si dice biunivoca ma [b][color=#0000ff]iniettiva[/color][/b]. [br]Si definisce poi [b][color=#0000ff]suriettiva[/color][/b] una funzione per cui [u]ogni[/u] elemento dell'insieme di destinazione è il risultato di qualche input (detto in altri termini più specifici: se ogni elemento dell'insieme di destinazione è controimmagine di un elemento dell'insieme di partenza, cioè se l'insieme di destinazione coincide con il codominio). [br][br][color=#0000ff][b]Utilizzando questa terminologia più avanzata, una funzione si dice biiettiva[/b], o [b]biunivoca[/b], quando è [b]sia iniettiva che suriettiva[/b][/color].[br]

Vediamo qui sotto alcuni esempi con una funzione matematica.

La [b]suriettività[/b] non è una condizione molto vincolante, perché se manca la si può ottenere lasciando invariata la legge della funzione e [b]cambiando solo l'insieme di destinazione[/b].[br][br]Nel nostro esempio se cambiamo l'insieme di destinazione della funzione [math]\large{g}[/math] da [math]\large{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}[/math] a [math]\large{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^+_0}}[/math], cioè prendiamo i risultati solo nell'insieme dei numeri positivi o nulli, tutti gli elementi dell'insieme di destinazione hanno una controimmagine nell'insieme di destinazione e la funzione è suriettiva.

Per questo motivo possiamo dire che la condizione più importante per la biunivocità resta la prima, cioè l'iniettività, e quindi possiamo "confonderla" con essa e dire che se ogni input genera un risultato diverso (ogni risultato è risultato di un input differente) la funzione è biunivoca.

Dato che la mancata suriettività può essere risolta in modo piuttosto semplice che non cambia la natura della funzione, possiamo dire che l[b]a condizione più importante per la biunivocità resta l'iniettività (cioè che due valori di input differenti non possano dare lo stesso risultato), e quindi possiamo "confonderla" con essa[/b] e dire che se ogni input genera un risultato diverso la funzione è biunivoca.