Valor Absoluto (e inecuaciones)

1. Concepto
El [b]valor absoluto[/b] de un número es el valor numérico del número (sin signo, que es lo mismo que con signo positivo). [br][br]El valor absoluto del número [i]a[/i] se representa por [i]|a|[/i]. [br][br][b]Ejemplos:[/b][br][br][list][br][*][i]|-1| = 1[/i][br][*][i]|-2| = 2[/i][br][*][i]|0| = 0[/i][br][*][i]|1| = 1[/i][br][*][i]|4,5| = 4,5[/i][br][*][i]|-0,3| = 0,3[/i][br][/list][br][br]Nótese que:[br][list][br][*] si el número es positivo, su valor absoluto es el propio número;[br][*] si el número es negativo, su valor absoluto es su opuesto (número con signo opuesto, es decir, con signo positivo);[br][*] si el número es 0, su valor absoluto es 0, aunque 0 no es ni positivo ni negativo.[br][/list]
2. Función Valor Absoluto
Matemáticamente, el valor absoluto es una función (de una variable) de los reales en los reales:[br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/absT-2.png[/img][br]Podemos escribirla como una función a trozos: [br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/absT-4.png[/img][br][br]La función es [b]continua[/b] en los reales y [b]derivable[/b] en los reales excepto en 0. [br]La gráfica de esta función es: [br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/grafica-valor-absoluto.png[/img][br][br]
3. Propiedades
[list][br][*] [b]El valor absoluto siempre es mayor o igual que 0, siendo 0 sólo cuando su argumento es 0:[/b][br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/absT-5.png[/img][br][br][*][b]El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos de los factores:[/b][br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/absT-6.png[/img][br][br][*] [b]Valor Absoluto de la suma:[/b][br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/absT-7.png[/img][br][br][*] [b]Propiedad importante:[/b] si tenemos la desigualdad (menor o igual)[br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/absT-8.png[/img][br]podemos escribir[br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/absT-9.png[/img][br][br]que es lo mismo que decir[br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/absT-10.png[/img][br][br](tienen que cumplirse ambas relaciones).[br][br]Dicho en forma de intervalos:[br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/absT-11.png[/img][br][br]Si la desigualdad es (mayor o igual)[br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/absT-12.png[/img][br][br]podemos escribir[br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/absT-13.png[/img][br][br](es una unión: tiene que cumplirse una de las dos).[br][br]Dicho en forma de intervalos:[br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/absT-14.png[/img][br][br][/list]
4. Ejemplos de Inecuaciones con Valor Absoluto
Vamos a resolver algunas inecuaciones con valor absoluto. Para ello usaremos la última propiedad del apartado anterior: [br][br][b]Ejemplo 1[br][/b][b][br][/b][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine6.png[/img][br][br]Podemos escribir la inecuación como[br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine6-1.png[/img][br][br]Tenemos que resolver las dos inecuaciones.[br][br]Podemos hacerlo al mismo tiempo:[br]Sumamos 1:[br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine6-2.png[/img][br][br]O bien, separar ambas inecuaciones y resolverlas por separado:[br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine6-3.png[/img][br][br]De ambas formas obtenemos la misma solución:[br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine6-4.png[/img][br][br][b]Ejemplo 2[br][/b][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine10.png[/img][br][br]Debe cumplirse alguna de los dos inecuaciones:[br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine10-1.png[/img][br][br]Resolvemos la primera:[br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine10-2.png[/img][br]Resolvemos la segunda:[br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine10-3.png[/img][br][br]Por tanto, la solución es:[br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine10-4.png[/img][br][br][b]Ejemplo 3[/b][br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine12.png[/img][br][br]Tenemos las dos inecuaciones:[br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine12-1.png[/img][br][br]Resolvemos la primera:[br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine12-2.png[/img][br][br]No podemos multiplicar por [i]x[/i] porque no sabemos si es positiva o negativa.Supongamos que [i]x[/i] es positiva ([i] x > 0[/i]): ahora sí podemos multiplicar por [i]x [/i]:[br][br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine12-3.png[/img][br][br]Por tanto, cambiando la desigualdad al dividir por el negativo -2, tenemos[br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine12-4.png[/img][br][br]Pero hemos dicho que [i]x > 0[/i], luego al unir ambas condiciones tenemos que[br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine12-5.png[/img][br][br](ya que es la más restrictiva).Supongamos ahora que x es negativa: [i]x < 0[/i]:[br][br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine12-6.png[/img][br][br]Por tanto, la solución a esta primera inecuación es[br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine12-7.png[/img][br][br]Resolvemos la segunda inecuación procediendo del mismo modo:[br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine12-8.png[/img][br][br]Si [i]x[/i] es positiva:[br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine12-9.png[/img][br][br]Si [i]x[/i] es negativa:[br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine12-10.png[/img][br][br]Por tanto, la solución a la segunda inecuación es:[br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine12-11.png[/img][br][br]Las soluciones de las dos inecuaciones son:[br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine12-12.png[/img][br][br]Y tienen que cumplirse ambas.[br]Por tanto, la solución es[br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/ine12-13.png[/img][br][br]
4. Referencias y más Ejemplos
[list][br][*][url=https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/valor-absoluto-inecuaciones-ejercicios-resueltos.html][b]Valor Absoluto e Inecuaciones con valor absoluto[/b][/url][br][*][url=https://www.matesfacil.com/ESO/inecuaciones/ejercicios-resueltos-inecuaciones.html][b]Inecuaciones[/b] racionales y de primer y segundo grado [/url][br][*][url=http://foro.matesfacil.com/][b]Foro de Ayuda[/b] [/url][br][/list]

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