[list][*]numeri positivi e numeri negativi; l'asse reale: [br]abbiamo visto, all'inizio, che fra gli enti primitivi della teoria di C c'è l'insieme R[sup]+[/sup] dei [b]numeri reali positivi[/b]. A partire da questo possiamo definire l'insieme R[sup]-[/sup] dei [b]numeri negativi[/b], che sono gli opposti dei numeri positivi. L'insieme R dei [b]numeri reali[/b] è definito come l'unione R[sup]+[/sup] U {0} U R[sup]-[/sup] (numeri positivi, numeri negativi e 0)[br][br][/*][*]da R[sup]+[/sup] all'ordinamento in R (relazioni < e > ): [br]a partire da R[sup]+[/sup] possiamo anche definire gli [b]ordinamenti in R[/b]: [br]diremo che x è [b]minore[/b] di y (x e y numeri reali), scrivendo, come è noto, [b]x<y[/b], quando [b]y-x è in R[sup]+[/sup][/b]. [br]In tal caso scriviamo anche; [b]y>x[/b] (y [b]maggiore[/b] di x).[br]Inoltre, si introducono le notazioni per le [b][color=#0000ff][url=http://w3.romascuola.net/gspes/c/applet/ordinamento.html]relazioni[/url][/color][/b] [b]"minore o uguale"[/b] (x≤y significa che x<y oppure x=y) e [b]"maggiore o uguale"[/b] (x≥y significa che x>y oppure x=y)[br][br][/*][*]gli insiemi R[sup]+[/sup], R e l'ordinamento in R godono delle seguenti proprietà (i quattro [b]assiomi sui numeri reali[/b]; questi costituiscono il secondo gruppo di assiomi della nostra teoria): [br][br][list][*][b]assioma dello zero e dell'uno : [br] 0 non è in R[sup]+[/sup], mentre 1 è in R[sup]+[/sup] [br][br][/b][/*][*][b][b]chiusura additiva di R e di R[sup]+[/sup] : [br] 1) se x e y sono in R, la somma x+y è anche in R [br] 2) se x e y sono in R[sup]+[/sup], la somma x+y è anche in R[sup]+[/sup][/b] [br][br][/b][/*][*][b][b]densità di R : [br] se x e y sono numeri reali tali che x<y, [br] allora esiste almeno un numero reale r tale che x<r e r<y [br]   (brevemente si scrive x<r<y e si dice che r è [i]strettamente compreso[/i] fra x e y)[br][br][/b][/b][/*][*][b][b][b]completezza di R : [br] se A e B sono sottoinsiemi non vuoti di R [br] tali che ogni elemento di A è minore di ogni elemento di B [br] (brevemente si dice che A [i]precede[/i] B) [br] allora esiste almeno un elemento r [br] maggiore o uguale di ogni elemento di A [br] e minore o uguale di ogni elemento di B [br] (brevemente si dice che r è [i]compreso[/i] tra A e B)[/b].[br][/b][/b][/*][/list][/*][/list][br][list][*]Utilizzando i precedenti 4 assiomi si possono dimostrare [b][color=#0000ff][url=http://w3.romascuola.net/gspes/c/applet/regole_ordinamento.html]vari teoremi[/url][/color][/b] sui numeri reali, nonché la notevole proprietà seguente:[br][color=#0000ff][url=http://w3.romascuola.net/gspes/c/applet/divisibil.html][/url][b][url=http://w3.romascuola.net/gspes/c/applet/divisibil.html]divisibilità in parti uguali di un numero reale[/url][/b][/color]  (teorema di [b]esistenza e unicità del sottomultiplo[/b]): [br]dato un [b]numero reale x[/b] e dato un numero [b]naturale non nullo n[/b], esiste un unico [b]numero reale x'[/b], [color=#0000ff][b][url=http://w3.romascuola.net/gspes/c/applet/frazioni.html]indicato[/url][/b][/color] con [b]x/n[/b], tale che [b]n•x'=x[/b]. Pertanto vale la relazione [b]n•(x/n)=x[/b].[br][/*][/list][br]

Vedi anche l'applet [color=#ff0000][b][url=http://tinyurl.com/ggbdaurl]PAGG[/url][/b][/color] seguente: [b][color=#0000ff][url=http://tinyurl.com/errepluspagg5]http://tinyurl.com/errepluspagg5[/url][/color][/b]