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Les triangles de Thalès
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1. Le théorème de Thalès
- Agrandir ou réduire : les configurations
- Ecrire l'égalité de Thalès
- Calculer avec Thalès
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2. La propriété réciproque
- Une propriété qui fonctionne toujours ? Ou pas ?
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3. Compléments
- Les démonstrations par Euclide
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Les triangles de Thalès
Vincent Everaert - Mathématiques, Oct 27, 2015
Table of Contents
- Le théorème de Thalès
- Agrandir ou réduire : les configurations
- Ecrire l'égalité de Thalès
- Calculer avec Thalès
- La propriété réciproque
- Une propriété qui fonctionne toujours ? Ou pas ?
- Compléments
- Les démonstrations par Euclide
Agrandir ou réduire : les configurations
De quoi le théorème de Thalès parle-t-il ?
Tout simplement de réduire ou d'agrandir les dimensions d'un triangle pour en obtenir un autre !
Observez la situation ci-dessous.
Peut-on dire que le triangle orange est une réduction ou un agrandissement du triangle ABC ?
Faites l'expérience (plusieurs fois !) :
On parle d'agrandissement ou de réduction* entre ces deux triangles lorsque les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Dans cette figure, déplacez le point M pour visualiser les différentes configurations possibles du théorème de Thalès et le rapport de l'homothétie (de centre A) associée :
Une propriété qui fonctionne toujours ? Ou pas ?
Dans la situation habituelle des triangles de Thalès (agrandissement-réduction ou configuration papillon), la réciproque du théorème de Thalès devrait être la propriété qui affirme :
"Si les fractions et sont égales,
alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles."
MAIS est-ce bien toujours vrai ?
Il vaut mieux vérifier :
Dans la figure suivante, on pose, en centimètres
AM = 6 et AB = 8
AN = 9 et AC = 12
A, B et C sont fixés mais on essaye pour M et N les différentes positions possibles sur les droites d1 et d2.
Obtient-on toujours des fractions égales ?
Cette égalité correspond-elle toujours à des droites parallèles ?
Conclusion :
Les fractions égales ne suffisent pas pour affirmer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
La réciproque de théorème de Thalès n'est pas valable dans toutes les configurations possibles.
Avant de conclure, il faut obligatoirement indiquer
si les points A, M, B sur d1
et les points A, N, C sur d2
sont (ou ne sont pas) alignés dans le même ordre.
Remarque : en revanche, si l'on prouve que les fractions ne sont PAS égales, alors on peut directement conclure que les droites ne sont PAS parallèles... Mais cela n'a rien à voir avec la réciproque !
Les démonstrations par Euclide
Les fiches précédentes montrent les propriétés en action, mais aucune ne prouve réellement que ces propriétés sont mathématiquement vraies !
Le théorème dit "de Thalès" et sa réciproque ont été démontrés dès l'antiquité grecque par le mathématicien Euclide.
Suivre Euclide dans ses preuves nécessite un sérieux effort de concentration, mais si vous en avez le courage, c'est aussi très instructif !
Voici leur démonstration complète, rédigée de façon interactive dans un autre livret GeoGebra*.
Cliquer ici pour ouvrir ce livret des démonstrations
*Merci au professeur anomyne qui a rédigé ce livret pour nous ;)
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