Les triangles de Thalès
Table of Contents
- Le théorème de Thalès
- Agrandir ou réduire : les configurations
- Ecrire l'égalité de Thalès
- Calculer avec Thalès
- La propriété réciproque
- Une propriété qui fonctionne toujours ? Ou pas ?
- Compléments
- Les démonstrations par Euclide
Agrandir ou réduire : les configurations
[font=Times New Roman][color=#0000ff]De quoi le théorème de Thalès parle-t-il ?[br]Tout simplement de réduire ou d'agrandir les dimensions d'un triangle pour en obtenir un autre ![br][br]Observez la situation ci-dessous. [br]Peut-on dire que le triangle orange est une réduction ou un agrandissement du triangle ABC ?[br]Faites l'expérience (plusieurs fois !) :[/color][/font]
[color=#0000ff]On parle d'agrandissement ou de réduction[sup]*[/sup] entre ces deux triangles lorsque les droites (MN) et (BC) sont parallèles.[br][br]Dans cette figure, déplacez le[color=#b4a7d6] [color=#8e7cc3]point M[/color][/color] pour visualiser les différentes configurations possibles du théorème de Thalès et le rapport de l'homothétie (de centre A) associée :[/color]
Une propriété qui fonctionne toujours ? Ou pas ?
[font=Times New Roman][color=#0000ff]Dans la situation habituelle des triangles de Thalès (agrandissement-réduction ou configuration papillon), la réciproque du théorème de Thalès devrait être la propriété qui affirme :[br][br]"[color=#444444][i]Si les fractions [/i][/color][/color][/font][color=#444444][i][font=Times New Roman][math]\frac{AM}{AB}[/math][/font][font=Times New Roman] e[/font][/i][/color][color=#0000ff][color=#444444][i][font=Times New Roman]t [math]\frac{AN}{AC}[/math] s[/font][/i][/color][font=Times New Roman][color=#444444][i]ont égales,[br]alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles[/i][/color]."[br][br]MAIS est-ce bien toujours vrai ?[/font][br][br][font=Times New Roman]Il vaut mieux vérifier :[/font][br][font=Comic Sans MS][color=#666666][br]Dans la figure suivante, on pose, en centimètres [br]AM = 6 et AB = 8[br]AN = 9 et AC = 12[br]A, B et C sont fixés mais on essaye pour M et N les différentes positions possibles sur les droites d[sub]1[/sub] et d[sub]2[/sub].[br]Obtient-on toujours des fractions égales ? [br]Cette égalité correspond-elle toujours à des droites parallèles ?[/color][/font][br][/color]
[font=Times New Roman][color=#0000ff]Conclusion :[br]Les fractions égales ne suffisent pas pour affirmer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.[br]La réciproque de théorème de Thalès n'est pas valable dans toutes les configurations possibles.[br][br]Avant de conclure, il faut [color=#ff0000]obligatoirement[/color] indiquer [br]si les points [color=#ff0000]A, M, B[/color] sur d[sub]1[/sub][br]et les points [color=#ff0000]A, N, C[/color] sur d[sub]2[/sub][br]sont (ou ne sont pas)[color=#ff0000] alignés dans le même ordre[/color].[br][br][br][color=#38761D]Remarque : en revanche, si l'on prouve que les fractions ne sont PAS égales, alors on peut directement conclure que les droites ne sont PAS parallèles... Mais cela n'a rien à voir avec la réciproque ![/color][/color][/font]
Les démonstrations par Euclide
[color=#0000ff][font=Times New Roman]Les fiches précédentes montrent les propriétés en action, mais aucune ne prouve réellement que ces propriétés sont mathématiquement vraies ![br][br]Le théorème dit "de Thalès" et sa réciproque ont été démontrés dès l'antiquité grecque par le mathématicien Euclide.[br]Suivre Euclide dans ses preuves nécessite un sérieux effort de concentration, mais si vous en avez le courage, c'est aussi très instructif ![br]Voici leur démonstration complète, rédigée de façon interactive dans un [url=http://ggbtu.be/b1947317]autre livret[/url] GeoGebra*.[br][br] [url=http://ggbtu.be/b1947317]Cliquer ici pour ouvrir ce livret des démonstrations[/url] [br][br]*Merci au professeur anomyne qui a rédigé ce livret pour nous ;)[/font][/color]