Stochastik 1 Kombinatorik. Test

Warming up

Wieviele Möglichkeiten gibt es, die vier Kinder in einer Reihe anzuordnen?

Kombinatorik 1

Die Anzahl der Möglichkeiten - vier Personen in einer Reihe aufzustellen - berechnet man:

indem man [math]4\cdot3\cdot2\cdot1[/math] rechnet, weil man für den ersten Platz vier, für den zweiten Platz 3, für den dritten Paltz 2 und für den letzten Platz noch eine Möglichkeit zur Wahl hat. indem man [math]4^4[/math] berechnet, weil es sich um Ziehen mit Zurücklegen handelt. indem man [math]4![/math] berechnet, weil es sich um Ziehen ohne Zurücklegen handelt. indem man [math]4\cdot4\cdot4\cdot4[/math] rechnet, weil es ja vier Personen sind und jede Person auf jeden Platz der Reihe gewählt werden kann.

Kombinatorik 2

Die Anzahl der Möglichkeiten aus 6 Personen 2 Personen auszuwählen, wobei die erste Person die Tafel wischt und die zweite Person Kreide holt, berechnet man

indem man [math]\frac{6!}{\left(6-2\right)!}[/math] rechnet, weil man für die erste Person 6 und für die zweite Person 5 Möglichkeiten hat, d.h. man zieht [b]ohne[/b] Zurücklegen und die [b]Reihenfolge spielt [u]eine[/u] Rolle[/b]. indem man [math]\frac{6\cdot5}{2\cdot1}[/math] rechnet, weil man für die erste Person 6 und für die zweite Person 5 Möglichkeiten hat. Man teilt noch durch die Anzahl der Kombinationen innerhalb der ausgewählten Personen, weil die [b]Reihenfolge [u]keine[/u] Rolle spielt[/b]. indem man [math]6\cdot5[/math] rechnet, weil man für die erste Person 6 und für die zweite Person 5 Möglichkeiten hat, d.h. man zieht [b]ohne[/b] Zurücklegen und die [b]Reihenfolge spielt [u]eine[/u] Rolle[/b]. indem man [math]\frac{6\cdot5}{2\cdot1}[/math] rechnet, weil man für die erste Person 6 und für die zweite Person 5 Möglichkeiten hat, d.h. man zieht [b]ohne[/b] Zurücklegen und [b]die Reihenfolge spielt [u]eine[/u] Rolle [/b].

Kombinatorik 3

Die Anzahl der Möglichkeiten aus 6 Personen 2 Personen auszuwählen, die zusammen die Tafel wischen müssen, berechnet man

indem man [math]\frac{6\cdot5}{2\cdot1}[/math] rechnet, weil man für die erste Person 6 und für die zweite Person 5 Möglichkeiten hat, weil man (A,B) und (B,A) als verschiedene Auswahlen zählt, die Reihenfolge aber [u][b]keine Rolle [/b][/u]spielt, muss man noch durch 2 teilen. indem man [math]\frac{6!}{2!\left(6-2\right)!}[/math] rechnet, weil man für die erste Person 6 und für die zweite Person 5 Möglichkeiten hat, d.h. man zieht [b]ohne[/b] Zurücklegen und die [b]Reihenfolge spielt [u]keine[/u] Rolle[/b]. indem man [math]6\cdot5[/math] rechnet, weil man für die erste Person 6 und für die zweite Person 5 Möglichkeiten hat, d.h. man zieht [b]ohne[/b] Zurücklegen und die [b]Reihenfolge spielt [u]keine[/u] Rolle[/b]. indem man [math]\frac{6\cdot5}{2\cdot1}[/math] rechnet, weil man für die erste Person 6 und für die zweite Person 5 Möglichkeiten hat, d.h. man zieht [b]ohne[/b] Zurücklegen und [b]die Reihenfolge [u]eine[/u] Rolle spielt[/b].

Kombinatorik 4

Der Binomialkoeffizient lautet

n über k ist gleich n Fakultät geteilt durch k Fakultät mal Klammer auf n minus k Klammer Fakultät zu. [math]\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}[/math] und man berechnet damit, wie man aus einer [b]n[/b] elementigen Menge [b]k[/b] Elemente auswählt, [b]ohne[/b] die Reihenfoge zu beachten. [math]\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}[/math]und man berechnet damit, wie man aus einer [b]k [/b]elementigen Menge [b]n[/b] Elemente auswählt, [b]ohne[/b] die Reihenfoge zu beachten. [math]\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}[/math] und man berechnet damit, wie man aus einer [b]k [/b]elementigen Menge [b]n[/b] Elemente auswählt, [b]mit Beachtung der [/b] [b]Reihenfoge[/b] zu beachten.

Kombinatorik 5

Bei einem Formel 1 Rennen sind 22 Fahrer am Start. Wieviele Möglichkeiten gibt es, dass Vettel, Ricciardo und Hamilton unter den drei Erstplatzierten sind.

1450 1504 1540 4150

Kombinatorik 6

Die Anzahl der Möglichkeiten aus 5 Personen zwei für den Tafeldienst auszwählen ist genau so groß, wie die Anzahl der Möglichkeiten aus diesen 5 Personen drei zum Hofdienst auszuwählen.

Die Behauptung ist falsch, weil es mehr Möglichkeiten gibt zwei Personen aus einer Menge von 5 Personen auszuwählen als drei Personen. Die Behauptung ist richtig weil gilt: [math]\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!\left(5-2\right)!}=\frac{5!}{2!3!}=\frac{5!}{3!\left(5-3\right)!}=\binom{5}{3}\frac{ }{ }[/math] Die Behauptung ist richtig, weil bei der Auswahl von zwei Leuten für den Tafeldienst automatisch drei für den Hofdienst übrig bleiben. Die Behauptung ist falsch; [math]\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!\left(2\right)!}\ne\frac{5!}{3!3!}=\frac{5!}{3!\left(5-3\right)!}=\binom{5}{3}[/math]

Kombinatorik 7

Aus einer Gruppe von fünf Personen soll während eines Monats eine Person jede Woche die Arbeit vorstellen, wobei eine Person auch mehrfach die Vorstellung übernehmen kann.

Es handelt sich hierbei um Ziehen [b]ohne[/b] Zurücklegen und die Anzahl der Möglichkeiten berechnet sich:[math]\binom{5}{4}=5[/math] Es handelt sich hierbei um Ziehen [b]mit[/b] Zurücklegen und die Anzahl der Möglichkeiten berechnet sich: [math]5\cdot5\cdot5\cdot5[/math] Es handelt sich hierbei um Ziehen [b]ohne[/b] Zurücklegen und die Anzahl der Möglichkeiten berechnet sich: [math]5\cdot5\cdot5\cdot5[/math] Es handelt sich hierbei um Ziehen [b]mit[/b] Zurücklegen und die Anzahl der Möglichkeiten berechnet sich: [math]5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1[/math]

Kombinatorik 8

Welche der folgenden Behauptungen ist richtig?

Beachtet man die Reihenfolge beim Ziehen, dann gibt es sowohl beim Ziehen mit Zurücklegen, als auch beim Ziehen ohne Zurücklegen immer weniger Möglichkeiten. Das ist logisch, weil man beim Ziehen ohne Zurücklegen eh weniger Möglichkeiten hat. Beachtet man die Reihenfolge beim Ziehen, dann gibt es sowohl beim Ziehen mit Zurücklegen, als auch beim Ziehen ohne Zurücklegen immer mehr Möglichkeiten, als wenn man die Reihenfolge nicht beachtet. Das ist logisch, weil man beim Ziehen ohne Beachtung der Reihenfolge Möglichkeiten zusammenfasst und als gleich ansieht, die man beim Ziehen mit Beachtung der Reihenfolge unterscheidet. Beim Ziehen ohne Zurücklegen gibt es immer mehr Möglichkeiten, als beim Ziehen mit Zurücklegen. Das ist logisch, weil beim Ziehen ohne Zurücklegen immer gleichviel Elemente gewählt werden können, beim Ziehen mit Zurücklegen werden es hingegen immer weniger. Beim Ziehen mit Zurücklegen gibt es immer mehr Möglichkeiten, als beim Ziehen ohne Zurücklegen. Das ist logisch, weil beim Ziehen mit Zurücklegen immer gleichviel Elemente gewählt werden können, beim Ziehen ohne Zurücklegen werden es hingegen immer weniger.

[table][tr][td]Aus einer n-elementigen Menge werde k Elemente gezogen[/td][/tr][tr][td][b]ohne Beachtung der Reihenfolge, ohne Zurücklegen[/b][/td][/tr][/table]

[math]\binom{n+k-1}{k}[/math] [math]\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}=\binom{n}{k}[/math] [math]n^k[/math] [math]\frac{n!}{\left(n-k\right)!}[/math]

[table][tr][td]Aus einer n-elementigen Menge werde k Elemente gezogen[/td][/tr][tr][td] [b]mit Beachtung der Reihenfolge, mit Zurücklegen[/b][/td][/tr][/table]

[math]\binom{n+k-1}{k}[/math] [math]n^k[/math] [math]\frac{n!}{\left(n-k\right)!}[/math] [math]\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}=\binom{n}{k}[/math]

[table][tr][td]Aus einer n-elementigen Menge werde k Elemente gezogen [/td][/tr][tr][td][b]mit Beachtung der Reihenfolge, ohne Zurücklegen[/b][/td][/tr][/table]

[math]\binom{n+k-1}{k}[/math] [math]\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}=\binom{n}{k}[/math] [math]\frac{n!}{\left(n-k\right)!}[/math] [math]n^k[/math]

[table][tr][td]Aus einer n-elementigen Menge werde k Elemente gezogen[/td][/tr][tr][td][b]ohne Beachtung der Reihenfolge, mit Zurücklegen[/b][/td][/tr][/table]