[justify]VECTORES[br]Los vectores son matrices de un renglón ó una columna. [br][br][br]SUMA DE MATRICES[br][br]La suma de dos matrices [math]A=\left(a_{ij}\right)[/math] y [math]B=(b_{ij})[/math] ambas de tamaño [math]m[/math]x[math]n[/math], es la matriz [math]A+B=\left(a_{ij}+b_{ij}\right)[/math] de tamaño [math]m[/math]x[math]n[/math] dada por la suma de elemento a elemento. [br][br]Por ejemplo:[/justify]
[justify]La matriz [math]A+B[/math] se obtiene sumando los componentes correspondientes de las matrices [math]A[/math] y [math]B[/math]. NOTA: solo se pueden sumar matrices del mismo tamaño.[/justify]
MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR[br][br] Si multiplicamos una matriz [math]A=(a_{ij})[/math] de tamaño [math]m[/math]x[math]n[/math] por un escalar [math]α[/math] tenemos como resultado una matriz [math]αA=(αa_{ij})[/math] de tamaño [math]m[/math]x[math]n[/math].[br][br]Por ejemplo.
PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES Y DEL PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR.[br] Sean [math]A[/math], [math]B[/math] y [math]C[/math]matrices de tamaño [math]m[/math]x[math]n[/math] y [math]α[/math], [math]β[/math] escalares.[br][br]1. CONMUTATIVA: [math]A+B=B+A[/math]; [math]αΑ=Aα[/math][br]2. ASOCIATIVA: [br][math]A+(B+C)=(A+B)+C[/math]; [br][math]α(βA)=(αβ)A[/math][br][br]3. DISTRIBUTIVA: [br][math]α(A+B)=αA+αB[/math]; [br][math](α+β)A=αA+βA[/math].[br][br]4. ELEMENTO NEUTRO:[br] [math]0m[/math]x[math]n[/math] + [math]A=A[/math](matriz cero: [math]0mxn[/math]); [br]1A = A.[br][br]5. [math]A+(-A)=0m[/math]x[math]n[/math]; [br][math]0A[/math]= [math]0m[/math]x[math]n[/math].[br][br][br]INVERSO ADITIVO Y SUSTRACCIÓN DE MATRICES[br][br]Una matriz [math]A[/math] de tamaño [math]m[/math]x[math]n[/math] tiene una matriz opuesta [math]-A[/math] que se obtiene multiplicando cada elemento de [math]A[/math]por el escalar [math](-1)A[/math].[br][br] La sustracción de las matrices [math]A[/math] y [math]B[/math], está determinada como la suma de la matriz [math]A[/math] y la matriz opuesta (inverso aditivo) de [math]B[/math]. [math]A-B=A+(-B)[/math][br][br] Por ejemplo:
[justify]MULTIPLICACIÓN DE MATRICES[br][br][/justify][justify]Producto de dos vectores[br]Sean a y b dos n-vectores (matrices de n elementos en una sola fila o columna), de forma que [math]a=(a_1,a_2,...,a_n)[/math] y [math]b=(b_1,b_2,...,b_n)[/math], su producto escalar de [math]a[/math] y [math]b[/math] denotado por [math]a∙b[/math] está dado por [math]a∙b=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n[/math][br]El producto escalar se conoce también como producto punto (por el operador) o producto interno y su resultado es un escalar (no un vector). Nota: para efectuar el producto escalar es necesario que los vectores tengan el mismo tamaño. [br]Ejemplo: Un fabricante elabora 5 tipos diferentes de perfume con ventas mensuales de cada versión dadas por el vector [math]v=(125,206,138,345,108)[/math] y con precios unitarios dados en el vector [math]p=(40,35,55,24,60)[/math], el total de ingresos por las ventas de los perfumes en el mes se obtiene multiplicando la cantidad vendida por el precio unitario, v por p , y sumando cada producto:[br]Total [math]=v∙p=(125)(40)+(206)(35)+(138)(55)+(345)(24)+(108)(60)=34,560[/math][br][br]Con frecuencia el producto escalar se efectúa entre un vector renglón y un vector columna.[/justify]
[justify]PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR[br][br] Sean [math]a[/math], [math]b[/math] y [math]c[/math] tres [math]n[/math]-vectores y [math]α[/math] un escalar[br][br]1. [math]a∙0=0[/math] ( 0 es el n-vector 0n )[br][br]2. [math]a∙b=b∙a[/math] (propiedad conmutativa)[br][br]3. a[math]∙(b+c)=a∙b+a∙c[/math] (propiedad distributiva)[br][br]4. [math](αa)∙b=α(a∙b)=a∙(αb)[/math][br][br] [br]PRODUCTO DE DOS MATRICES[br][br]Sean dos matrices [math]A=(a_{ij})[/math] de tamaño [math]m[/math]x[math]n[/math] y [math]B=(b_{ij})[/math] de tamaño [math]n[/math]x[math]p[/math]. Entonces el producto de las matrices [math]A[/math] y [math]B[/math], denotado por [math]AB[/math] es una matriz [math]C=(c_{ij})[/math] de tamaño [math][/math][math]m[/math]x[math]p[/math] de donde [br][br][math]c_{ij}[/math] = producto del renglón [math]i[/math] de [math]A[/math] por la columna [math]j[/math] de [math]B[/math]. (producto escalar)[br][br][math]c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{in}b_{nj}[/math][/justify]Por ejemplo.
[justify]PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES[br][br]1. Sean las matrices [math]Am[/math]x[math]n[/math] , [math]Bn[/math]x[math]p[/math]y [math]Cp[/math]x[math]q[/math] entonces [math]A(BC)=(AB)C[/math] (propiedad asociativa)[br][br]2. Suponiendo que todas las sumas y todos los productos están definidos, entonces [br][math]A(C+B)=AC+AB[/math] y [math](A+B)C=AB+BC[/math] (propiedad distributiva)[br][br]3. Sea la matriz [math]Am[/math]x[math]n[/math] e [math]Im[/math], [math]In[/math] matrices unidad de tamaño [math]m[/math] y [math]n[/math] respectivamente, entonces [br][math]ImA=AIn=A[/math].[br][br] [br][br]Nota: la matriz unidad [math]In[/math], se conoce también como matriz identidad. Es una matriz cuadrada (tamaño [math]n[/math]x[math]n[/math]), cuyos elementos de la diagonal principal son todos iguales a 1, y los demás elementos son ceros.[/justify][br]