Sammensatte funktioner er funktioner, hvor man behandler input ad to omgange: Først med en funktion, og derefter med en anden funktion. Alle sammensætninger kan opfattes som opbygget på denne måde: Hver funktion [i]kan[/i] jo i sig selv være en sammensat funktion. Og alle funktionstyper kan i princippet indgå som ydre eller indre funktion i en sammensætning (komposition).[br][br][size=150][b]Eksempel[/b][/size][br]Betragt en potensfunktion med rational eksponent. Hvis der er noget du vil friske op, kan du se et [url=https://ggbm.at/qCxjeFV3]GeoGebra-arbejdsark her[/url].[br]Funktionen [math]f:x\rightarrow x^{\frac{3}{2}}=\left(x^3\right)^{\frac{1}{2}}=\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^3=\left(\sqrt{x}\right)^3=\sqrt{x^3}[/math]. Lighedstegnene "jonglerer" lidt med potensregnereglen for [i]potens-i-potens[/i] (eksponentproduktreglen) og det faktum, at [i]multiplikation er kommutativ[/i], altså at [b]uanset faktorernes orden[/b] fås samme produkt. Lad os holde fast ved det sidste udtryk for denne potensfunktion og se på det som [b]en beregning i to trin[/b]: Først beregnes kuben på tallet [i]x[/i]. Så tages kvadratroden af det, der er kommet ud af at sætte i tredje potens. Og først da har vi potensfunktionens værdi for det pågældende input, [i]x[/i].[br][quote]En sådan beregning i flere trin, hvor hvert trin jo kan beskrives som [b]en funktion i sig selv[/b], er netop hvad vi vil beskrive som en sammensat funktion.[/quote]Vi kunne her sige, at [math]g:x\rightarrow x^3[/math] og at [math]h:y\rightarrow\sqrt{y}[/math]. NB: Jeg har brugt to forskellige symboler for den uafhængige variabel i de to funktioner [i]g[/i] og [i]h[/i], for at antyde, at det ikke er det samme tal, der "går ind" i begge de to funktioner - derimod er det jo tallet som kommer ud af funktion [i]g[/i], som går ind i funktion [i]h[/i], så vi kunne faktisk skrive hele historien [math]f\left(x\right)=h\left(g\left(x\right)\right)[/math].[br][br][b]Værdi indsat[/b]: Hvad er [math]f\left(4\right)[/math]? Vi opløfter 4 til kuben, [math]g\left(4\right)=4^3=64[/math]. Så tager vi kvadratroden af det der kom ud, [math]\sqrt{64}=8[/math]. Altså er [math]f\left(4\right)=h\left(g\left(4\right)\right)=4^{\frac{3}{2}}=8[/math].

Herunder kan du arbejde med en sammensat funktion, med nogle (forprogrammerede) eksempler på indre og ydre funktioner. Prøv at [b]flytte punktet[/b] [math]x_0[/math], som på den [color=#ff0000][b]indre funktions graf[/b] [/color]så får koordinaterne [math]\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)[/math]. Du vil se, at [color=#ff0000][b]det røde punkt[/b][/color] i ruden til venstre rykker lige så meget op og ned, som [color=#ff0000][b]det røde punkt[/b][/color] i ruden til højre rykker sideværts. Kan du se sammenhængen til [color=#9900ff][b]den sammensatte funktions graf[/b][/color] i ruden til højre?

[color=#ff0000]Grafen viser g(f(x)), ikke g(y). KH[br]Allan[br][icon]/images/ggb/toolbar/mode_tool.png[/icon][br][/color]Det vil give mening at [br][list][*]lave højre rude (Tegneblok 2) om til alene at være den ydre funktion, og at[/*][*]bede eleven om at skrive den sammensatte funktions forskrift[/*][/list]

I appen herover har du en indre funktion [math]y=f\left(x\right)[/math], som du vælger med skyderen [i]n[/i] i ruden til venstre, og en ydre funktion [math]g\left(y\right)[/math], som du vælger med skyderen [i]m[/i] i ruden til højre.[br][br][b][size=100][size=150]Indre funktion[/size][/size][/b][br]I ruden til venstre kan du vælge en x-værdi, [math]x_0[/math] med skyderen i venstre rude, og forskydningen til et nabopunkt på [color=#ff0000][b]den indre funktion[/b][/color].[br]Samtidig kan du vælge mellem forskellige funktioner (prøv [color=#ff0000][b]skyderen [i]n[/i][/b][/color] i ruden til venstre) som eksempler på en indre funktion.[br]Den funktionsværdi, som den indre funktion giver, vises som førsteakse i ruden til højre. [b]Højden[/b] af punktet på den røde graf er vist som førstekoordinat ([b][color=#ff0000]rødt punkt[/color][/b]) i ruden til højre.[br][br][b][size=100][size=150]Ydre funktion[/size][/size][/b][br][color=#9900ff][b]Grafen i ruden til højre er den sammensatte funktion[/b][/color]. Du kan også her vælge en forskydning [i]k[/i] til et nabopunkt. Den linje, der skærer gennem det faste punkt på den sammensatte funktions graf (over det røde punkt) og nabopunktet, kaldes en [b][color=#f1c232]sekant[/color][/b]. For at bestemme en ret linje kræves to punkter, hvorfor sekanten forsvinder, hvis [math]k=0[/math] (hvis altså det faste punkt og nabopunktet falder sammen). Mere om [url=https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-b/differentialregning/sekant-og-tangent]sekant[/url].