行列

Bunryu Kamimura, Jan 25, 2018

ジオジェブラの行列に関するコマンドは多くはない。 Determinant[行列]：行列の行列式を返します。 Invert[行列]：与えられた行列の逆行列を返します。 Transpose[行列]： 与えられた行列を転置します。 Element(行列, 行, 列)：行列の各要素を取り出します。 これを使って、行列の固有値と対角行列を求めてみましょう。 そもそも行列の固有値とは何でしょう。 対角行列を作ると何が良いのでしょう。 そんなことも考えながら、行列の計算や作図をしてみましょう。

Table of Contents

  1. まず行列を作ってみよう
    1. 行列の作り方
    2. 連立一次方程式→一次変換→行列
    3. ベクトルと行列
    4. ３次元の一次変換
    5. いろいろな行列を作ってみよう
  2. 一次変換
    1. 行列は一次変換
    2. 楕円の一次変換
    3. 行列（一次変換）
    4. ベクトルの変換
    5. 行列の積の意味
  3. 行列の行列式
    1. 座標変換
    2. 行列式の意味
    3. 連立一次方程式の解き方
    4. 逆行列
    5. 行列式が同じ行列
    6. 行列式が等しい行列
  4. 行列の固有値と固有ベクトル
    1. 固有ベクトルを求める
    2. 行列のイメージと固有ベクトル
    3. 固有ベクトル
    4. ３次の行列の固有ベクトル
    5. 行列の特性方程式の解き方
    6. 行列の固有値の求め方
    7. 三次正方行列の固有値
  5. 対称行列
    1. 対称行列の固有ベクトル（ＣＡＳを使う方法）
    2. 三次の対称行列の固有ベクトル
    3. 行列のスペクトル分解
  6. 対角化
    1. 対角行列のイメージ
    2. なぜ対角化するのか
    3. 行列の対角化
    4. 余因子行列
  7. 行列を分類してみよう
    1. Ｏ(3)直交行列
    2. 二次の直交行列は群をなす
    3. 三次の直交行列
    4. 直交行列の積は直交行列

1.

まず行列を作ってみよう

「[b]行列のことは行列に聞け[/b]」 というわけで、いろいろな行列を作って、いろいろ動かし、計算しながら行列について学んでみましょう。

  • 1. 行列の作り方
  • 2. 連立一次方程式→一次変換→行列
  • 3. ベクトルと行列
  • 4. ３次元の一次変換
  • 5. いろいろな行列を作ってみよう

1.1.

行列の作り方

ジオジェブラで行列を作ろう
右の表に数値を入れます。[br]クリックして表を囲う→「リストの作成」→「行列の作成」で行列ができます。[br][br]入力で、det(A)と入力すると、Ａの行列式が出ます。[br]また、行列同士の＋－＊ができます。[br]下の入力で計算した結果は数式ビューに出てきます。[br]
行列の作り方
行列を図で表わせるか？
いろいろ計算できますが、イメージがつかめません。[br]これをどうやったら図にできるのでしょうか。[br]行列は点や直線を別の点や直線に変換します。
– Bunryu Kamimura

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

2.

一次変換

ベクトルを変換するのが行列のはたらき。 その変換はベクトルの和の構造を保っている。 さらに積を定義することもできる。 そうすると、行列自身がまるで数のようになってくる。

  • 1. 行列は一次変換
  • 2. 楕円の一次変換
  • 3. 行列（一次変換）
  • 4. ベクトルの変換
  • 5. 行列の積の意味

2.1.

行列は一次変換

A1とB2を変えてみよう。三角形をつまんで動かしてみよう。一次変換とは、相似、移動、反転・・・など。これは相似変換。
– Bunryu Kamimura

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

3.

行列の行列式

行列式の値は何を指示しているのか。 連立方程式を解く時になくてはならない。

  • 1. 座標変換
  • 2. 行列式の意味
  • 3. 連立一次方程式の解き方
  • 4. 逆行列
  • 5. 行列式が同じ行列
  • 6. 行列式が等しい行列

3.1.

座標変換

ｘｙ座標
座標軸の変換
行列Ａは、ｘｙの軸を下のｕｖの軸に変える。[br]（ｘ，ｙ）[br]　　↓　　　行列Ａ[br]（ｕ，ｖ）
ｕｖ座標
– Bunryu Kamimura

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

4.

行列の固有値と固有ベクトル

行列の意味については、次のブック「[b]行列の意味[/b]」へ [url]https://www.geogebra.org/book/title/id/nwHsVWs7[/url] ここでは、「固有値から固有ベクトル」と「固有ベクトルから対角化行列」を取り上げます。

  • 1. 固有ベクトルを求める
  • 2. 行列のイメージと固有ベクトル
  • 3. 固有ベクトル
  • 4. ３次の行列の固有ベクトル
  • 5. 行列の特性方程式の解き方
  • 6. 行列の固有値の求め方
  • 7. 三次正方行列の固有値

4.1.

固有ベクトルを求める

ベクトルｖはｕに一次変換ｍ１を施したもの。ベクトルｕとｖの方向は異なっているが、ｕ（点Ａ）を動かすと、ｖとｕの方向が一致する所が二方向ある。それはどこか？
行列ｍ１の固有ベクトル
方向が一致知する時、そのベクトルを行列ｍ１の固有ベクトルという。[br]では、そのベクトルをどのように見つけたら良いか。[br][br]ｍ１＊ｕ＝λ＊ｕ＝ｖ　（λはスカラー）だから[br]（ｍ１－λ）ｕ＝０　を満たすλを見つければ良い。[br]上の行列式の方程式を解くと、λが求まる。[br]この値を（ｍ１－λ）に代入し、一次方程式を解いて（ｘｙ）を求めると固有ベクトルがわかる。[br][br]さて、この固有ベクトルと固有値の意味は何だろうか？[br]
– Bunryu Kamimura

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

4.5.

–

4.6.

–

4.7.

–

5.

対称行列

対称行列は、自身の転置行列と一致するような正方行列を言います。 対称行列の固有ベクトルは互いに直交します。 これは座標を変換することができることを示しています。

  • 1. 対称行列の固有ベクトル（ＣＡＳを使う方法）
  • 2. 三次の対称行列の固有ベクトル
  • 3. 行列のスペクトル分解

5.1.

対称行列の固有ベクトル（ＣＡＳを使う方法）

ＣＡＳを使うとコンピュータが固有ベクトルを計算してくれる。ちなみに、対称行列の固有ベクトルは直交する。
– Bunryu Kamimura

5.2.

–

5.3.

–

6.

対角化

対角行列とは、正方行列であって、その対角成分（(i, i)-要素）以外が零であるような行列のことです。 つまり、行列がもし対角行列に変形できるなら、計算がとても楽になります。それを対角化といいます。

  • 1. 対角行列のイメージ
  • 2. なぜ対角化するのか
  • 3. 行列の対角化
  • 4. 余因子行列

6.1.

対角行列のイメージ

実際の計算
対角行列の作り方
実際の数値で計算をするとイメージができる。[br]計算はＡ＊Ｍを先にやった方がわかりやすい。[br]Ｍ（橙の平行四辺形）と固有ベクトルの関係がよくわかる。[br][br]行列Ａ（茶色の平行四辺形）を行列ＩＭＡＭ（水色の長方形）に変換するのが対角化。[br]この行列は長方形なので扱いやすく、しかもＡとほとんど同じとみなせる。[br][br]Ｅを（４，２）に持っていってみよう。[br]
– Bunryu Kamimura

6.2.

–

6.3.

–

6.4.

–

7.

行列を分類してみよう

対称行列　←　エルミート行列 　　↑　　　　　　　↑　　（対角化） 直交行列　←　ユニタリ行列 　　　　（実数化） ここでは実数のみを扱うので、直交行列を目標にします。

  • 1. Ｏ(3)直交行列
  • 2. 二次の直交行列は群をなす
  • 3. 三次の直交行列
  • 4. 直交行列の積は直交行列

7.1.

Ｏ(3)直交行列

この６つの行列が群になることを、表を作って確かめよう。
– Bunryu Kamimura

7.2.

–

7.3.

–

7.4.

–

Information