Teorema: [i]In un triangolo ad angolo maggiore si oppone lato maggiore[/i].[br]Hp 1) [math]B \hat{A} C > A \hat{B} C[/math]. Th: [math]\overline{BC}>\overline{AC}[/math][br][b]Passo 1[/b]: Sia [math]ABC[/math] un triangolo in cui [math]B \hat{A} C > A \hat{B} C[/math].[br][b]Passo 2[/b]: Supponiamo per assurdo che [math]\overline{BC}<\overline{AC}[/math], allora esiste, sul prolungamento di [math]\overline{BC}[/math] oltre [math]B[/math], un punto [math]D[/math] tale che [math]\overline{CD} \cong \overline{AC}[/math] (2)[br][b]Passo 3[/b]: Quindi [math]ACD[/math] è isoscele e per il teorema diretto del triangolo isoscele [math]C \hat{A} D \cong C \hat{D} A[/math] (3). Dato che [math]A \hat{B} C[/math] è esterno rispetto al triangolo [math]ABD[/math], per il teorema dell'angolo esterno maggiore si ha [math]A \hat{B} C > C \hat{D} A[/math] e, per (3) [math]A \hat{B} C > C \hat{A} D[/math] (4). Inoltre, dato che [math]D[/math] è esterno ad [math]ABC[/math], il segmento [math]\overline{AD}[/math] è esterno all'angolo [math]B \hat{A} C[/math], quindi [math]C \hat{A} D > B \hat{A} C[/math] e questa implica, per (4) [math]A \hat{B} C > B \hat{A} C[/math] contrariamente all'ipotesi.

Teorema: [i]In un triangolo ad angolo maggiore si oppone lato maggiore[/i].[br]Hp 1) [math]B \hat{A} C > A \hat{B} C[/math]. Th: [math]\overline{BC}>\overline{AC}[/math][br][b]Passo 1[/b]: Sia [math]ABC[/math] un triangolo in cui [math]B \hat{A} C > A \hat{B} C[/math].[br][b]Passo 2[/b]: Supponiamo per assurdo che [math]\overline{BC}<\overline{AC}[/math], allora esiste, sul prolungamento di [math]\overline{BC}[/math] oltre [math]B[/math], un punto [math]D[/math] tale che [math]\overline{CD} \cong \overline{AC}[/math] (2)[br][b]Passo 3[/b]: Quindi [math]ACD[/math] è isoscele e per il teorema diretto del triangolo isoscele [math]C \hat{A} D \cong C \hat{D} A[/math] (3). Dato che [math]A \hat{B} C[/math] è esterno rispetto al triangolo [math]ABD[/math], per il teorema dell'angolo esterno maggiore si ha [math]A \hat{B} C > C \hat{D} A[/math] e, per (3) [math]A \hat{B} C > C \hat{A} D[/math] (4). Inoltre, dato che [math]D[/math] è esterno ad [math]ABC[/math], il segmento [math]\overline{AD}[/math] è esterno all'angolo [math]B \hat{A} C[/math], quindi [math]C \hat{A} D > B \hat{A} C[/math] e questa implica, per (4) [math]A \hat{B} C > B \hat{A} C[/math] contrariamente all'ipotesi.