[br][color=#0000ff]Olkoon [math]\large \textcolor{blue}{x\geq 0.}[/math] Luvun [i]x[/i] [i][b]neliöjuurella[/b][/i] tarkoitetaan sellaista reaalilukua, jolle toteutuu[/color][br] [br]  [math]\large \textcolor{blue}{\sqrt x \geq 0 \;\;\text{ ja }\;\; (\sqrt x)^2=x.}[/math][br] [br][br]Neliöjuuria laskettaessa voidaan hyödyntää alla olevia kaavoja.[u] Jos et ole varma lukujen positiivisuudesta, älä ota neliöjuuria erikseen![/u][br][br]  1. [math]\large \textcolor{blue}{\sqrt{ab}=\sqrt a \sqrt b,\;\;\;a,b \geq 0}[/math][br][br]  2. [math]\large \textcolor{blue}{\sqrt\frac a b=\frac \sqrt a \sqrt b,\;\;\;\;\;\;\; a\geq 0, \; b>0 }[/math][br] [br]Molemmissa kaavoissa vaaditaan, että tulon tai jakolaskun tekijät ovat positiivisia. Tämä on helppo tarkistaa, kun laskemme numeroilla. Jos laskussamme on tuntemattomia arvoja eli parametrejä mukana, niin nämä ehdot on varmistettava erikseen. Esimerkit 6 - 8 käsittelevät näitä tilanteita.[br][br][br]Esimerkkejä:[br][br] 1.  [math] \sqrt 4=\sqrt{2^2}=2[/math][br] [br] 2.  [math] \sqrt 4=\sqrt{(-2)^2}=|-2|=2 [/math][br] [br] 3.  [math] \sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5[/math][br] [br] 4.  [math] \sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{4\cdot 10}=\sqrt 4\cdot \sqrt{10}=2\sqrt{10}[/math][br] [br] 5.  [math]\sqrt\frac 4 9=\frac \sqrt 4 \sqrt 9=\frac 2 3 [/math][br][br] 6.  [math]\sqrt x^2=|x|, [/math] sillä muuttujan [i]x[/i] arvo voi olla mikä tahansa reaaliluku. Neliöjuuren arvo pitää kuitenkin [br] määritelmän mukaan olla vähintään nolla. Itseisarvomerkit takaavat tämän.[br] [br][br]

[br][br][color=#0000ff]Esimerkki 6[/color]. [math]\large \sqrt{16ab^2}=\sqrt{16}\sqrt a\sqrt {b^2}=4\sqrt a|b| [/math][br][br]Neliöjuuren sisällä on kertolasku. Tämän kertolaskun tekijät ovat 16, [i]a[/i] ja [i]b[sup]2[/sup][/i]. Näistä tekijöistä 16 on positiivinen luku. Parametri [i]b[/i] voi olla mikä tahansa luku, koska toiseen korotettuna se on aina vähintään 0. Ainoastaan tekijä [i]a[/i] voi tehdä tästä tulosta negatiivisen eli parametrin [i]a[/i] on oltava alkujaankin positiivinen. Koska parametri [i]b[/i] voi olla joko positiivinen tai negatiivinen, on sen ympärille laitettava itseisarvomerkit neliöjuuren ottamisen jälkeen. Tällöin voidaan olla varmoja, että tulos on määritelmän mukaan positiivinen. [br][br][br][br][color=#0000ff]Esimerkki 7. [/color] [math]\large \sqrt \frac{9a^3b}{b^3c^4}=\sqrt \frac{9a^3\cancel b}{b^\cancel 3^2 c^4}=\sqrt\frac{9a^3}{b^2c^4}=\frac{\sqrt 9\sqrt{a^2\cdot a}}{\sqrt {b^2}\sqrt{c^4}}=\frac{3a\sqrt a}{|b|c^2} [/math][br][br]Tässä esimerkissä tekijöitä ovat 9, [i]a[/i], [i]b [/i]ja[i] c. [/i]Sieventämisen jälkeen osoittajassa on [math]9a^3[/math] ja nimittäjässä [math]b^2c^4.[/math]. Koska nimittäjän molempien termien potenssi on parillinen luku, niin tiedämme tuloksen olevan positiivinen. Osoittajassa paratemetrin [i]a [/i]potenssi on pariton luku eli tulos on merkiltään sama kuin parametrin [i]a[/i] arvo. Tämän takia parametri [i]a [/i] on oltava positiivinen luku jo alusta lähtien. [br][br]Tekijä [math]\sqrt{c^4}=\sqrt{(c^2)^2}=c^2.[/math] Tämän takia [i]c[/i] voi olla mikä tahansa luku ja neliöjuuri on laskettavissa. Parametrin [i]b[/i] arvo meidän täytyy vaatia positiiviseksi itseisarvojen avulla. [br][br][br][color=#0000ff]Esimerkki 8. [/color] [br][br] [math]\large \sqrt{ab}\left (\sqrt\frac a b+\sqrt \frac b a\right )=\sqrt{ab}\sqrt\frac a b+\sqrt{ab}\sqrt\frac b a \\=\large \sqrt \frac{ab\cdot a} b+\sqrt \frac{ab\cdot b} a =\sqrt \frac{a\cancel b\cdot a} \cancel b+\sqrt \frac{\cancel a b\cdot b} \cancel a =\sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}=|a|+|b|[/math] [br][br]Tässä esimerkissä jokainen kirjoitettu neliöjuuri täytyy olla arvoltaan laskettavissa. Tämä tarkoittaa, että niiden sisäosat ovat arvoltaan vähintään 0. Sen takia voimme varmuudella suorittaa neliöjuurien keskinäiset kertolaskut. Parametrien [i]a[/i] ja [i]b[/i] arvoista emme toistaiseksi tiedä mitään, joten tarvitsemme itseisarvomerkit.[br]