[size=85]Die Punkte ( x | y ) in der euklidischen Ebene werden mit [b]komplexen Zahlen[/b] z = x + i y identifiziert. Nun kann man mit Punkten rechnen, insbesondere steht das [b]komplexe Doppelverhältnis[/b] von 4 Punkten zur Verfügung. Dieses ist invariant unter gleichsinnigen Möbiustransformationen.[br][/size][list][*][size=85] Vier Punkte liegen nur dann auf einem Kreis, wenn ihr Doppelverhältnis reell ist! [/size][/*][*][size=85] Zwei Punktepaare liegen genau dann spiegelbildlich auf zwei orthogonalen Kreisen, wenn ihr Doppelverhältnis vom Betrag 1 ist, dh. wenn das Doppelverhältnis auf dem Einheitskreis liegt. [/size][/*][/list][size=85]Bewegen Sie zum Erkunden den Punkt z[sub]4[/sub]. [br]Der rote Kreis [i][b]K[/b][/i][b][sub]1[/sub][/b] geht durch z[sub]3[/sub] und ist orthogonal zum Kreis [i][b]K[/b][/i](z[sub]1[/sub], z[sub]2[/sub], z[sub]3[/sub]), die Schnittpunkte z[sub]3 [/sub], z[sub]3[/sub]'' trennen z[sub]1[/sub], z[sub]2[/sub] harmonisch.[br]Der rote Kreis [i][b]K[/b][/i][b][sub]2[/sub][/b] geht durch z[sub]1[/sub], z[sub]2[/sub] und ist orthogonal zu [/size][size=85][size=85][i][b]K[/b][/i](z[sub]1[/sub], z[sub]2[/sub], z[sub]3[/sub]),[/size][br]Der Kreis [i][b]K[/b][/i][sub][b]3[/b][/sub] durch z[sub]1[/sub] und z[sub]2[/sub] ist so konstruiert, dass er orthogonal zu [i][b]K[/b][/i][b][sub]2[/sub][/b], und dass z[sub]3[/sub] [i]in Richtung[/i] z[sub]4[/sub] gespiegelt wird; der Spiegelpunkt z[sub]3[/sub]' liegt auf [i][b]K[/b][/i][b][sub]1[/sub][/b].[br]Fallen z[sub]4[/sub], z[sub]3[/sub] und z[sub]3[/sub]' zusammen, so trennen sich z[sub]1[/sub], z[sub]2[/sub] und z[sub]3[/sub], z[sub]4[/sub] harmonisch:[br][/size][list][*][size=85][b]dv = -1,[/b] es gilt beides: die Punkte liegen auf einem Kreis [i]und[/i] sie liegen paarweise spiegelbildlich auf zwei orthogonalen Kreisen.[/size][br][/*][/list][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size]