Faszinierend ist es, im Raum der bizirkularen Quartiken die Möglichkeiten des kontinuierlichen Übergangs zwischen den verschiedenen Typen auszuprobieren. Dabei zeigen die Quartiken ihre gemeinsamen möbiusgeometrischen Eigenschaften. Konfokale Kegelschnitte und deren Eigenschaften erweisen sich als Spezialfall der bizirkularen Quartiken.[br]Als Beispiel werden wir [i][b]Leitkreise[/b][/i], [i][b]Leitgeraden[/b][/i] möbiusgeometrisch charakterisieren: es zeigt sich, dass bizirkulare Quartiken neben den Brennpunkten durch ihre Leitkreise definiert und konstruiert werden können.[br]Bizirkulare Quartiken besitzen Symmetriekreise. Bezüglich eines Symmetriekreises [b]K[/b] treten die Brennpunkte paarweise auf und in jedem Punkt [b]p[/b] der Kurve gibt es einen [i][b]doppelt-berührenden Tangentialkreis[/b][/i], der symmetrisch, also orthogonal zum Symmetriekreis [b]K[/b] liegt. Der zweite Berührpunkt [b]p'[/b] ist der Spiegelpunkt bezüglich [b]K[/b]. [br]Zweiteilige Quartiken besitzen beispielsweise 4 paarweise orthogonale Symmetriekreise, davon ist einer imaginär. Es gibt 4 Scharen von doppelt-berührenden Kreisen (in Zukunft manchmal kurz [i][b]DB-Kreise[/b][/i] genannt).[br]Zeichnet man einen [i][b]Brennpunkt[/b][/i] aus, oben im Applet z.B. [math]f_1[/math], so stellt man experimentell überaschend fest, dass die Spiegelpunkte des Brennpunkts bezüglich der DB-Kreise jeweils auf einem Kreis liegen. [br]Dies sind die [i][b]Leitkreise[/b][/i] einer bizirkularen Quartik. Mit den Punkten auf den Leitkreisen kann man die DB-Kreise, die Berührpunkte mit der Quartik, sowie die Brennkreise konstruieren - und bewegen! Zum Erkunden sind die konzyklischen Brennpunkte und ein Scheitelpunkt der Quartik auf dem Kreis der Brennpunkte beweglich.[br][br]Bei achsensymmetrischen Kegelschnitten (s.u.) gibt es zur [math]y[/math]-Achse symmetrische [i]DB-Kreise. [/i]Spiegelt man einen der Brennpunkte an einem solchen DB-Kreis, so liegt der Spiegelpunkt auf der [i][b]Leitgerade[/b][/i] des Kegelschnitts.[br]Der [i][b]DB-Kreis[/b][/i] ist Winkelhalbierende der beiden [i]Brennkreise[/i]: das sind hier der Kreis durch [math]f_1[/math], [math]f_2[/math] und den Kurvenpunkt zum einen und der "Kreis" durch den doppelt zählenden Brennpunkt in [math]\infty[/math] und den Kurvenpunkt zum anderen.[br]Die [i]Tangente[/i] in einem Kurvenpunkt kann als [i][b]DB-Kreis[/b][/i] angesehen werden: der 2. Berührpunkt liegt in [math]\infty[/math].[br]Spiegelt man [math]f_1[/math] an der Tangente, so liegt der Spiegelpunkt auf dem Leitkreis: das folgt aus der "[i]Gärtnerkonstruktion[/i]" und der Tatsache, dass die Tangente Winkelhalbierende der Brennstrahlen ist.

Im Applet am Seitenanfang ist eine zweiteilige bizirkulare Quartik aus den konzyklischen Brennpunkten, den 3 reellen Symmetriekreisen und einem Scheitelpunkt auf dem Symmetriekreis [math]\mathbf{K}_0[/math] durch die Brennpunkte konstruiert. Die Brennpunkte und der Scheitelpunkt sind beweglich.[br]Zunächst erhält man die anderen Scheitelpunkte mit Hilfe der Symmetrien. Die Scheitelkreise sind [i][b]DB-Kreise[/b][/i] der gesuchten Quartik: Spiegelt man den ausgewählten Brennpunkt [math]f_1[/math] an diesen DB-Kreisen, so erhält man, richtig paarweise geordnet, Schnittpunkte der gesuchten [i][b]Leitkreise[/b][/i] mit der Achse [math]\mathbf{K}_0[/math]. Die 3 Leitkreise sind orthogonal zur Achse [math]\mathbf{K}_0[/math], damit kann man die Leitkreise "zeichnen".[br]Aus den allen bizirkularen Quartiken gemeinsamen Eigenschaft, dass die Spiegelbilder des einen ausgewählten Brennpunktes bei der Spiegelung an den [i][b]DB-Kreisen[/b][/i] auf den [i][b]Leitkreisen[/b][/i] liegen, und der Tatsache, dass die DB-Kreise [i][b]Winkelhalbierende[/b][/i] der zugehörigen [i]Brennkreise[/i] sind, kann man die [i][b]DB-Kreise[/b][/i] und die Kurvenpunkte mit Hilfe der Leitkreise konstruieren! [br]Die [b]DB-Kreise[/b] können bewegt werden. Es gibt noch eine 4. Schar von [i][b]DB-Kreisen[/b][/i], diese liegen im "Inneren" der Quartik, das meint: auf derselben Seite wie die Brennpunkte. Leitkreis ist die Achse [math]\mathbf{K}_0[/math], welche sich nicht zur Konstruktion eignet.[br][br]Versucht man, zwei der Brennpunkte zusammenfallen zu lassen, so erhält man nahezu eine Kegelschnitt-Situation, falls man sich den doppelt-zählenden Brennpunkt als [math]\infty[/math] vorstellt.[br]Bei drei Brennpunkten nahe beieinander nähert die Quartik sich der Parabel.[br]Beim Versuch, zwei doppelt zählende Brennpunkte herzustellen, nähert sich die Lösung zwei Kreisen eines Büschels.[br][br][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size]