Klasse 11/12 - Analysis I und II
Hier gibt es alle meine Arbeitsblätter zur Analysis.
Table of Contents
- Folgen
- Parameter bei geometrischen und arithmetischen Folgen
- Urbildfolge und Bildfolge
- Urbildfolge und Bildfolge - Betrachtung der Werte/Grenzwert
- Ableitungen
- Ist die Steigung der Gerade positiv oder negativ?
- Ist die Steigung in dem Punkt positiv oder negativ?
- Funktion mit gegebener Tangentensteigung skizzieren
- Finde Punkte mit waagrechter Tangente
- ÜBUNG: Skizziere den Ableitungsgraph anhand der Funktion
- NEU!!! :-) ÜBUNG: Ableitung/Funktion skizzieren
- Übungen: Zuordnung Funktionsgraph und Ableitungsgraph
- Begriffe rund um Funktionen und Ableitungen
- ÜBUNG: Ableitungsfunktion skizzieren
- Bedeutung von Tangente und Krümmungskreis
- Das Kümmungsverhalten einer Funktion
- Funktionsgraphen untersuchen
- Untersuchung des Aussehen von Polynomen verschiedenen Grades
- Untersuchung der Symmetrie von Polynomen versch. Grades
- Erklärung des Begriffes "Stelle"
- Nullstellen
- WIEDERHOLUNG Woher die Nullstellen kommen
- Übungen zum Ablesen des Funktionsgraphen aus den Nullstellen
- Skizze eines Polynoms aus den Nullstellen bestimmen
- Übungen zur Polynomdivision
- FOLIE Ein Produkt ist genau dann Null wenn einer ... (2)
- FOLIE Nullstellen bei Polynomfunktionen
- WIEDERHOLUNG Geraden bestimmen
- ÜBUNG: Steigung von Geraden abschätzen.
- ÜBUNG: Steigung mit Steigungsdreieck bei y=mx ablesen
- ÜBUNG: Steigung mit Steigungsdreieck ablesen
- ÜBUNG: Steigung einer Geraden aus Punkten berechnen
- ÜBUNG: Einfache Geradengleichungen bestimmen
- ÜBUNG : Geradengleichung aus Punkten berechnen
- Erklärung des Begriffes "Stelle"
- Das Steigungsdreieck bei Gerade
- Steigung bei Ursprungs-Gerade bestimmen
- Steigung und Achsenabschnitt bei Geraden bestimmen
- Tangenten und Schnittwinkel
- Gemischte Aufgaben zu Tangenten, Normalen und Steigunswinkel
- LÖSUNG Schnittwinkel mit Koordinatenachsen
- LÖSUNG Wendetangente
- LÖSUNG Senkrechtes Schneiden nachweisen
- LÖSUNG Tangente und Normale mit x-Achse schneiden
- LÖSUNG Michael Schuhmachers Unfall
- LÖSUNG Leiter an Heuhaufen
- Ablage
- Vergleich von verschiedenen Möglichkeiten der Annäherung
- Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen
- Fläche zwischen Graph und x-Achse mit Grenzen
- Vorbereitung zum Grenzwert der Untersumme
- Integralfunktion
- Größe eines Sees
- Die Punktsymmetrie (kurz und dynamisch)
- Symmetrietest
- FOLIE Gebrochen Rationale Funktionen
Parameter bei geometrischen und arithmetischen Folgen
Untersuche getrennt für [b]arithmetische[/b] und [b]geometrische Folge[/b]n die Auswirkung der Werte von [math]a_1[/math] und und [math]d[/math] bzw. [math]a_1[/math] und [math]q[/math], indem du die Werte über die Schieberegler veränderst und den Verlauf der Folge betrachtest.[br][br][b]Allgemeine Formeln:[/b][br][list][*]arithmetische Folge: [math]a_{^{_n}}=a_1+\left(n-1\right)\cdot d[/math][br][/*][/list][br][list][*]geometrische Folge: [math]a_n=a_1\cdot q^{\left(n-1\right)}[/math][/*][/list][br]Versuche jeweils, für die einzelnen Folgen-Typen unterschiedliche Beispiele zu finden und sie zu beschreiben (mit Skizze dazu). Versuche auch heraus zu finden, für welche der Parameter-Werte man ein ähnliches Aussehen hat und wie sich die Parameter auswirken.[br][br]Überlege dann, ob man verallgemeinern kann, wann eine arithmetische bzw. geometrische Folge einen Grenzwert hat.
Ist die Steigung der Gerade positiv oder negativ?
Ist die Steigung der Gerade positiv oder negativ?
Untersuchung des Aussehen von Polynomen verschiedenen Grades
[b]In dieser Zeichnung kannst du Polynome verschiedenen Grades untersuchen.[/b][br][br]Eine Polynomfunktion ist ja eine Summe von verschiedenen Potenzen von x, die jeweils einen Zahl-Faktor haben und dann addiert werden. [br][math]f\left(x\right)=a_0+a_1\cdot x+a_2\cdot x^2+...+a_n\cdot x^n[/math][br][br]In der folgenden Zeichnung kannst du Polynomfunktion bis zum Grad 5 untersuchen. Die höchste Pozenz kann man mit dem obersten Schieberegler einstellen. Die Schieberegler darunter, bestimmen die Faktoren (Koeffizienten). Ziel ist es - wenn möglich - allgemeine Eigenschaften für die Polynome eines bestimmten Grades feststellen zu können. Natürlich ändert sich das Aussehen des Funktionsgraphen mit den Faktoren vor den Potenzen von x. Zunächst sollten aber EIgenschaften gefunden werden, die nicht von einzelnen Werten abhängen.[br][br]Deshalb untersuche bitte folgendes:[br][list][br][*]Gibt es gemeinsame Eigenschaften, die für alle Polynome eines bestimmten Grades [br][/*][*]Gibt es eine Form, die bei Polynomen eines bestimmten Grades öfters auftaucht (wenn auch nicht immer)?[br][/*][*]Wie sieht es mit der Anzahl der Extrempunkte/Wendepunkte aus? Gibt es da Gemeinsamkeiten?[/*][/list][br]Am besten wäre es, wenn man die Eigenschaften auch mit Hilfe des Funktionstermes (bzw. der Funktionsterme für eine Gruppe von Polynomen) erklären könnte.[br][br][u]Tipp:[/u] Mache dir beim Herumprobieren kleine Skizzen zum Aussehen der Funktionsgraphen und sammle sie auf einem Blatt. Wer geschickt am Computer ist könnte sich auch Screenshots z.B. im Writer sammeln und dann ausdrucken. In der Schule gibt es das Programm "ksnapshot", mit dem man sich schnell ein Bild davon merken kann.
WIEDERHOLUNG Woher die Nullstellen kommen
Was sind noch mal Nullstellen?
Okay ... erst noch einmal ganz einfach:[br][br][list][*][b]Eine Nullstelle ist ein x-Wert ([i]wegen "Stelle"[/i]) bei der die Funktion den Funktionswert ([i]auch y-Wert[/i]) Null hat.[/b][br][/*][/list][br]Mathematiker schreibe dann gerne als Formel dazu auf: [br][br]Damit ist gemeint, dass man x-Werte sucht, die den Funktionswert an dieser Stelle Null ist.[br][br]Die Funktion [math]f(x)=x^3-4x^2+3x[/math] hat zum Bespiel eine Nullstelle bei [math]x=0[/math], denn wenn man im Funktionterm für alle x den Wert 0 einsetzt, dann erhält man den Funktionwert [math]0[/math] als Ergebnis.[br][br][math]f(0)=0^3-0^2+3\cdot0=0[/math][br][br]In der folgenden Zeichnung ist der Graph der Funktion [math]f(x)[/math] zu sehen und man sieht auch, dass bei [math]x=0[/math] die x-Achse geschnitten wird.
Da eine weitere Nullstelle bei [math]x=1[/math] ist, muss natürlich auch bei [math]f(1)[/math] als Funktionswert [math]0[/math] herauskommen.[br][br]Wir probieren es: [math]f(1)=1^3-4\cdot1^2+3\cdot1=1-4+3=0[/math][br][br]Okay, das ist so, wie wir es erwartet haben. Natürlich würde auch [math]f(3)=0[/math] sein. Wenn du willst, kannst du es noch einmal probieren.
Nullstellen kann man auch ohne Rechnung erkennen
Aus der Mittelstufe ist man gewohnt Nullstellen zu berechnen. Allerdings hat man da auch nur eine bei Geraden oder zwei Nullstellen bei Parabeln.[br][br]Bei Polynomen wollen wir Ideen aus der Mittelstufe aufgreifen ... dazu ein Video:
Funktionen als Faktoren beschrieben
Betrachte verschiedene Funktionen und verstehe den Zusammenhang zwischen den Faktoren und den Nullstellen.
ÜBUNG: Steigung von Geraden abschätzen.
Du sollst abschätzen, wie die Steigung der roten Geraden ist.[br][br]Es sind verschiedene Möglichkeiten vorgegeben. Wähle aus, was du vermutest und schau dir die Auswertung an. Falls deine Auswahl falsch ist, überlege, warum das so ist und vergleiche es mit der Gleichung der Funktion.[br][br]Bearbeite 10 bis 20 verschiedene Aufgaben. Du solltest erst aufhören, wenn du keine Fehler mehr machst.
ÜBUNG: Steigung von Geraden abschätzen.
Gemischte Aufgaben zu Tangenten, Normalen und Steigunswinkel
ÜBUNGSBLATT_Gemischte_Aufgaben_Tangenten_und_Winkel
Vergleich von verschiedenen Möglichkeiten der Annäherung
Es wurde der Graph der Funktion f(x)=x² eingezeichnet. Für das Intervall [1,4] wurde die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse berechnet. Da wir noch keine Flächen mit "krummen" Begrenzungen berechnen können, betrachten wir drei Näherungsverfahren. Kreuzt du einen der Namen an, wird im Koordinatensystem gezeigt, wie man die Fläche näherungsweise mit Rechtecken bzw. Trapezen berechnen könnte.