[size=50]Das Applet zeigt 3 Geraden auf einer Ebene, welche die Möbiusquadrik schneidet. Die 3 Geraden können über die Punkte E,F,...,J bewegt werden. Zu den Geraden werden ihre Pole in der Ebene sowie die Polaren im Raum angezeigt. Die Polaren im Raum gehen durch den Pol [/size][math]\scriptsize\mathbf{P_E}[/math] [size=50]der Ebene. [br]Das LIE-Produkt zweier Geraden ist orthogonal zu den Geraden; es ist die Verbindungsgerade der Pole![/size]

[code][/code][size=85]Drei sich schneidende komplex linear unabhängige Geraden(-vektoren) liegen entweder in einer Ebene des [math]\mathbb{P}_3[/math] oder sie schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt. Ersteres liegt vor, wenn ihre Determinante reell ist, letzteres, wenn ihre Determinante rein imaginär ist. [br][u][i]Begründung:[/i][/u] für [math]\mathbf\vec{g}_1, \mathbf\vec{g}_2,\mathbf\vec{g}_3\in \large\mathbf\mathcal{ G}[/math] gelte [math]\mathbf\vec{g}_i \bullet \mathbf\vec{g}_j \in \mathbb{R}\; \mbox{ für } i,j \in\left\{1,2,3\right\}[/math], d.h. die Vektoren repräsentieren Geradenvektoren, die sich schneiden. [br]Die Charakterisierung ergibt sich nun mit der Lagrangeschen Identität:[/size][math]\mathbf {Det}(\mathbf\vec{g}_1, \mathbf\vec{g}_2,\mathbf\vec{g}_3)^2=|\mathbf\vec{g}_i \bullet\mathbf\vec{g}_j|=|<\mathbf\vec{g}_i ,\mathbf\vec{g}_j>_2| [/math][size=85], hier steht rechts die [i]Gramsche Determinante[/i].[br]Sind die Geraden koplanar, so schneidet die Ebene die Möbiusquadrik im [/size][math]\mathbb{P}_3[/math] [size=85]oder sie liegt ganz außerhalb (für Berührebenen verschwindet die [i]Gramsche Determinante[/i]); die Signatur von [/size][math]<\;,\,>_2[/math] [size=85]ist (+,-,-) bzw. (+,+,+) und damit ist die Gramsche Determinante positiv. Im zweiten Falle liegt der gemeinsame Schnittpunkt innerhalb, bzw. außerhalb der Möbiusquadrik: die Signatur ist (-,-,-) bzw. (+,+,-), die Gramsche Determinante ist negativ.[/size][br][br][size=85][i]Hieraus folgt insbesondere:[/i][/size][list][*][size=85]Schneiden sich die Geraden[/size] [math]\mathbf\vec{g}_1, \mathbf\vec{g}_2[/math][size=85], [/size][size=85]so liegen[/size][size=85] [/size][math]\mathbf\vec{g}_1, \mathbf\vec{g}_2,\ \left[\mathbf\vec{g}_1, \mathbf\vec{g}_2\right][/math][size=85] in einer Ebene. [/size][br][/*][/list][size=85]Man beachte: [/size][math] \left[\mathbf\vec{g}_1, \mathbf\vec{g}_2\right][/math][size=85] ist senkrecht zu [/size][math]\mathbf\vec{g}_1[/math] [size=85]und zu [/size][math]\mathbf\vec{g}_2[/math]. [br][br][size=85]Diese Aussage gilt auch, wenn die Geraden sich auf der Möbiusquadrik schneiden, bzw. wenn sie auf einer Berührebene liegen! Dies erkennnt man am ehesten, wenn man ein [i]euklidisches Koordinatensystem[/i] (s.u.) zugrunde legt: [br]Es sei im geeignet gewählten euklidisches Koordinatensystem [/size][math]\mathbf\vec{p}_{\infty}[/math] [size=85]der Pol der Vektoren[/size] [math]\mathbf\vec{g}_1, \mathbf\vec{g}_2\in \large\mathbf\mathcal{ G}[/math]. [br][size=85]Dann ist[/size] [math]\mathbf\vec{g}_i=z_i\cdot\mathbf\vec{p}_{\infty}+w_i\cdot \mathbf\vec{g}_0,\;z_i,w_i\in\mathbb{C},\; i=1,2[/math] [size=85]und[/size] [math] \left[\mathbf\vec{g}_1, \mathbf\vec{g}_2\right]=(w_2\cdot z_1-w_1\cdot z_2)\cdot \mathbf\vec{p}_{\infty}=w_2\cdot \mathbf\vec{g}_1-w_1\cdot\mathbf\vec{g}_2[/math].[br][math]\mathbf\vec{g}_1, \mathbf\vec{g}_2[/math] [size=85]repräsentieren nur dann zwei sich schneidende Geraden, wenn [/size][math]w_1,w_2[/math] [size=85]beide reell, bzw. beide rein imaginär sind. Die drei Vektoren sind dann reell linear abhängig und liegen somit in einer Ebene. Wenn [/size][math]w_1,w_2[/math] [size=85]beide rein imaginär sind, liegen die Geraden in einer Berührebene.[/size]

[size=85]Ein [b]euklidisches Koordinatensystem[/b] ist eine [i]orientierte[/i] Basis [math]\mathbf\vec{p}_\infty,\,\mathbf\vec{g}_0,\,\mathbf\vec{p}_0[/math] im Geradenvektorraum [math]\large\mathcal{G}[/math] mit [math]\mathbf{Det}\left(\mathbf\vec{p}_\infty,\mathbf\vec{g}_0,\mathbf\vec{p}_0\right)=1[/math], für welche die beiden Produkttabellen gelten sollen:  [br][list][/list][/size][list][br][math]\Large\begin{tabular} {|c||c|c|c|} \hline [br]\bullet &  \mathbf\vec{p}_\infty &\mathbf\vec{g}_0  &  \mathbf\vec{p}_0 \\ \hline\hline    [br]\mathbf\vec{p}_\infty &  0 & 0 &  1  \\ \hline   [br]\mathbf\vec{g}_0  &  0 & -1 &  0   \\ \hline   [br]\mathbf\vec{p}_0 &  1&  0 &  0 \\ \hline\end{tabular}[/math]         [math]\Large\begin{tabular}{|c||c|c|c|} \hline [br][\;\,,\;] & \mathbf\vec{p}_\infty & \mathbf\vec{g}_0  & \mathbf\vec{p}_0 \\ \hline\hline   [br]\mathbf\vec{p}_\infty & \mathfrak{o} & \mathbf\vec{p}_\infty & \mathbf\vec{g}_0  \\ \hline   [br]\mathbf\vec{g}_0  & -\mathbf\vec{p}_\infty &  \mathfrak{o}&   \mathbf\vec{p}_0   \\ \hline   [br]\mathbf\vec{p}_0 & - \mathbf\vec{g}_0 &  - \mathbf\vec{p}_0&  \mathfrak{o}  \\ \hline\end{tabular}[/math][br][/list][br][size=85]Die Punkte auf der Möbiusquadrik mit Ausnahme von [/size][math]\infty\equiv \mathbf\vec{p}_\infty[/math] [size=85]erreicht man durch die komplexe Parametrisierung: [/size][math]\mathbf\vec{p}(z):=\frac{z^2}{2}\cdot   \mathbf\vec{p}_\infty+z\cdot\mathbf\vec{g}_0+\mathbf\vec{p}_0,\mbox{         mit  [br]}z\in\mathbb{C}[/math]  [br][br][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size]