Die Produktform

Aufgabe 5

1.[br]Gegeben sind die Funktionen:[br]f(x) = 0,5(x - 1)(x - 3) und [br]g(x) = -2(x + 2)(x - 4)[br][br]In welchen Bereichen sind die Funktionswerte positiv?[br]Kreuze die richtige Antwort(en) an.[br][i][br]Hilfestellung: Scrolle ganz nach unten zum GeoGebra-Applet.[/i][br]

Die Funktion f(x) ist im Bereich von 1 < x < 3 positiv. Die Funktion g(x) nimmt im Bereich von -2 < x < 4 positive Funktionswerte an. Die Funktion g(x) ist im Bereich von x< -2 und x > 4 positiv. Im [br]Bereich -2 < x < 4 nimmt f(x) negative Funktionswerte an. Die Funktion f(x) ist im Bereich von x < 1 und x > 3 positiv. Im Bereich 1 < x < 3 nimmt f(x) negative Funktionswerte an.

2.[br]Welche besonderen Punkte können aus den Funktionen f(x) und g(x) direkt abgelesen werden?

y-Achsenabschnitt Nullstellen Scheitelpunkte

3. Begründe deine Antwort aus 1 und 2.

4. Das Ablesen der besonderen Punkte führt zu einer neuen Darstellungsform, in welcher quadratische Funktionen angegeben werden können: [u][b]Die Produktform.[/b][/u][br][br]Ergänze den Lückentext:[br][br][u][b]Die Produktform[br][/b][/u]Hat eine quadratische Funktion die beiden ..........................................................[br] so kann der Funktionsterm in der Produktform dargestellt werden:[br][math]f\left(x\right)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)[/math].[br][br]Der Nutzen der Produktform liegt daran, dass der ..................................... und die [br]................................... direkt abgelesen werden können.

5.[br]Welche Aussagen können über die Produktform getätigt werden, wenn es eine bzw. keine Nullstelle gibt?

Ist [math]x_1=x_2[/math], so spricht man von einer doppelten Nullstelle (Berührstelle). Ist die Diskriminante gleich Null, gibt es keine Nullstelle. Der Funktionsterm in Produktform lautet dann: [br][math]f\left(x\right)=ax^2[/math] Gibt es keine Nullstellen, gilt [math]f\left(x\right)=ax^2[/math]. Gibt es keine Nullstellen, kann der Funktionsterm nicht in Produktform angegeben werden. Ist die Diskriminante gleich Null, gibt es eine Nullstelle. Der Funktionsterm in Produktform lautet: [math]f\left(x\right)=a\left(x-x_1\right)^2[/math].

Hilfestellung

[i]Hilfestellung: Du kannst das GeoGebra-Applet zur Hilfe nehmen, um dir die Funktionen zu visualisieren. Gibt die Funktionen ins Applet ein. Hinweis: Du musst in GeoGebra 0.5 (anstatt 0,5) eingeben. Dezimalzahlen trennt man hier mit Punkt.[/i]

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Aufgabe 5

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