[size=85](vgl. Hinrichs, A.: Analysis 1, Vorlesungsnotizen, Wintersemester 2015/2016, Johannes Kepler Universität Linz)[/size]
Analysis I
Begleitmaterial zur Vorlesung Analysis I
Table of Contents
- Mengen, Logik, Funktionen
- Verkettung von Funktionen
- Gleichmächtigkeit von Einheitsquadrat und -strecke
- Exponentialfunktion und Umkehrfunktion
- Zahlen
- Pascalsches Dreieck
- Polarkoordinaten
- Folgen
- Monotonie und Schranken einer Folge
- Supremum und Infimum einer Folge
- Grenzwert einer Folge
- Cauchy-Folgen
- Konvergenz einer Folge in C
- Heron'sches (babylonisches) Wurzelziehen (Liste)
- Reihen
- Reihe
- Achill und die Schildkröte
- Summe der natürlichen Zahlen
- Stetige Funktionen
- Stetigkeit einer Funktion
- Die trigonometrischen Funktionen
- Winkelfunktionen und hyperbolische Funktionen
- Rechenschieber 3
- Lipschitz-Stetigkeit
- Folgenkriterium
- Differentialrechnung
- Grenzwert einer Funktion
- Differenzen- und Differentialquotient
- Andere Definitionen der Differenzierbarkeit
- Lupe und Tangente
- Grafisches Ableiten
- Satz von Rolle
- Mittelwertsatz der Differentialrechnung
- Das Newtonsche Näherungsverfahren
- Taylorpolynome
- Richtungsfeld für y' = k·y
- Konvexe und konkave Funktionen
- Integralrechnung
- Mittelwertsatz der Integralrechnung
- Numerische Integration
- Berechnung des Rotationsvolumens
- Rotationskörper
- Cavalieri-Prinzip
- Volumen eines Kegels
- Gewölbte Staumauer mit Quadern
- Volumen eines Körpers
- Integralfunktion
- Mantelfläche
Verkettung von Funktionen
In der Konstruktion wird die Verkettung g o f der Funktionen [b]f[/b]: R → R; [math]f\left(x\right)=\frac{x^2}{4}[/math]und [color=#0000FF][b]g[/b][/color]: [-1; ∞[ → R; [math]g\left(x\right)=\sqrt{x+1}[/math] gezeigt.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Arbeite das Applet in Einzelschritten mit Hilfe der Navigationsleiste durch.[br]Erkläre mit eigenen Worten die Konstruktion des [color=#FF0000]Punktes P[/color] und das Entstehen des Graphen von [color=#FF0000]g o f[/color].[br][br][i]Hinweis:[/i][br]Verschiebe das [color=#0000ff]Argument x[/color] und beobachte den [color=#ff0000]Punkt P[/color], der sich auf dem Graphen der [color=#ff0000]Verkettung von f und g[/color] bewegt.[br]Schalte dazu eventuell die Spur von [color=#FF0000]P[/color] ein ([i]Rechtsklick auf P[/i]).[br]Berechne den Funktionsterm der verketteten Funktion g o f und gib diesen in der Eingabezeile ein.[br]Vergleiche durch Klicken auf die Schaltfläche.[br] [br]Falls die Beschriftungen der Punkte störend wirken, kannst du sie auch wegklicken.[br]
Pascalsches Dreieck
Binomialkoeffizienten und Pascalsches Dreieck
Zum Berechnen und Einprägen der Binomialkoeffizienten eignet sich das Pascalsche Dreieck besonders gut.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Verändere mit den Schiebereglern die Werte für [b][color=#0000ff]n[/color][/b] und [b][color=#45818e]k[/color][/b].[br]Blende im rechten Fenster die Berechnung ein, die zeigt, wie aus zwei Binomialkoeffizienten in der oberen Zeile ein Binomialkoeffizient in der darunterliegenden Zeile entsteht.[br]Zoome bei Bedarf im linken Fenster, um die Binomialkoeffizienten für größere Werte von n zu berechnen.
Welche Binomialkoeffizienten sind richtig berechnet?
Monotonie und Schranken einer Folge
Untersuche die Folge <[math]a_{n}[/math]> mit [math]a_{n} = \frac{3n+1}{n+2}[/math][br]a) hinsichtlich der Art der Monotonie,[br]b) hinsichtlich einer oberen Schranke.
Reihe
Stetigkeit einer Funktion
Definition: Stetigkeit einer Funktion
Sei f eine Funktion [math]f: D(\subset \mathbb{R}) \to \mathbb{R}[/math] .[br]f heißt [b]stetig [/b]an der Stelle [math]x_0 \quad \Leftrightarrow[/math] [math] \forall \epsilon \in \mathbb{R}^+ \, \exists \delta \in \mathbb{R}^+ \, \forall x \in D, |x-x_0|< \delta : \quad |f(x)-f(x_0)| < \epsilon[/math][br][br][i]In Worten:[br]Eine Funktion ist [b]stetig[/b] an der Stelle x[sub]0[/sub], wenn es für alle [/i][math]\epsilon\in\mathbb{R}^+[/math][i] , und seien diese ε noch so klein, ein [/i][math]\delta\in\mathbb{R}^+[/math][i] gibt, sodass für alle [/i][math]x\in D[/math][i], die von x[sub]0[/sub] höchstens einen Abstand von δ haben (d.h. [/i][math]\left|x-x_o\right|<\delta[/math][i]), gilt, sodass der Abstand des Funktionswertes f(x) an der Stelle x vom Funktionswert f(x[sub]0[/sub]) an der Stelle x[sub]0[/sub] kleiner als ε ist (d. h. [/i][math]\left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right| < \epsilon[/math][i] ).[/i][br][br][b]Aufgabe[/b] [list][*]Verkleinere die ε-Umgebung um [math]f(x_0)[/math].[/*][*]Verändere die Position der Stelle [math]x_0[/math].[/*][*]Verändere die Position von x in der δ-Umgebung von [math]x_0[/math].[/*][*]Untersuche die Stetigkeit von anderen Funktionen, die du im Dropdown -Feld wählen kannst.[/*][/list][br][i]Hinweis:[br]Eine Funktion ist [b]nicht stetig[/b] (unstetig), wenn es ein [/i][math]\epsilon\in\mathbb{R}^+[/math][i] gibt, sodass es für alle [/i][math]\delta\in\mathbb{R}^+[/math][i] ein [/i][math]x\in D[/math][i] mit [/i][math]\left|x-x_o\right|<\delta[/math][i] gibt, für das [/i][math]\left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right| \geq \epsilon[/math][i] ist.[br]f ist [b]nicht stetig [/b]an der Stelle [/i][math]x_0 \quad \Leftrightarrow[/math] [math]\exists \epsilon \in \mathbb{R}^+ \, \forall \delta \in \mathbb{R}^+ \, \exists x \in D, |x-x_0|< \delta : \quad |f(x)-f(x_0)| \geq \epsilon[/math]
Welche der folgenden Funktionen sind stetig?
Grenzwert einer Funktion
[b]Aufgabe[/b][br][list][*]Blende eine der Folgen (a[sub]n[/sub]), (b[sub]n[/sub]) oder (c[sub]n[/sub]) ein.[br][/*][*]Erhöhe den Index n und beobachte das Verhalten der Folge und der Folge der Funktionswerte. [br][/*][*]Blende wahlweise die anderen Folgen ein.[br][/*][*]Verändere die Stelle x[sub]0[/sub] und untersuche weitere Funktionen und ihren Grenzwert an der Stelle x[sub]0[/sub].[br][/*][/list]Beispiele: [br]f(x) = e[sup]-x²[/sup] und x[sub]0[/sub] = 0[br]f(x) = sin(x) und x[sub]0[/sub] = π (pi)[br]f(x) = Wenn[x<= 3, 2, x] [br]...
Mittelwertsatz der Integralrechnung
[b]Satz[/b][br]Sei f eine stetige Funktion in [a; b]. Dann gibt es mindestens eine Stelle ξ in [a; b] mit [br][math]\int_{a}^{b}{f(x) dx} = f(\xi) \cdot (b-a)[/math][br][br][b]Geometrische Interpretation[/b][br]Es gibt mindestens ein ξ aus [a; b] , sodass der Flächeninhalt des Rechtecks gleich ist dem Flächeninhalt unter der Kurve von a bis b. [br]Die Stelle ξ ist im allgemeinen nicht der Mittelwert von a und b. [br][br][b]Aufgabe[/b][br]Verändere die Integrationsgrenzen und beobachte die Auswirkungen.
Mittelwertsatz der Integralrechnung
Andreas Lindner