Da polynomier er funktioner, har de et krav at leve op til: "Den lodrette linietest": En lodret linie (parallel med [i]y[/i]-aksen) skærer grafen i højst et punkt. Parabler er som sådan ikke bundet til at skulle vende, så de opfylder dette, men hvis man vil repræsentere parabler [b]med en funktion[/b], er man henvist til den form, som andengradspolynomiet dikterer.

Parablen er spejlsymmetrisk. Dersom grenene vender opad (a>0), vil grafen derfor have et punkt med en laveste [i]y-[/i]værdi. I modsat fald (a<0), vil grafen have et punkt, hvor [i]y-[/i]værdien er højere end noget andet sted på grafen. I begge tilfælde kaldes dette punkt [b]toppunkt[/b].[br][br][i]Strengt taget findes andre parabler end de, der har lodret symmeriakse, [/i]se fx [url=https://www.geogebra.org/m/Cwytn8xd]dette arbejdsark[/url].[i] Men [/i][b]alle parabler med lodret symmetriakse[/b][i] kan udtrykkes ved en andengradsfunktion.[/i]

Vi kan flytte parablen vandret ved at "forklæde", eller præparere [i]x[/i]-værdierne [b]inden de kommer ind [/b]i parabel-regneren [i]f[/i]: Hvis vi trækker [i]p[/i] fra inden vi beregner parabelpunktets højde (funktionsværdi), får vi [i][b][color=#0000ff]g[/color][/b][/i][b][color=#0000ff]([/color][/b][color=#0000ff][i]x[/i][/color][b][color=#0000ff])[color=#000000]=[color=#9900ff][i]f[/i]([/color][/color][/color][/b][color=#0000ff][color=#000000][i]x-p[/i][/color][/color][b][color=#0000ff][color=#000000][color=#9900ff])[math]=a\cdot\left(x-p\right)^2[/math].[/color][/color][/color][/b]

Vi kan flytte parablen lodret ved at lægge tal [i]q[/i] til, når vi [b]har beregnet[/b] parabelpunktets højde (funktionsværdi).[br]Hermed får vi [i][b][color=#274E13]h[/color][/b][/i][b][color=#274E13]([i]x[/i])=[/color][/b][i][b][color=#0000ff]g[/color][/b][/i][b][color=#0000ff]([i]x[/i])[color=#0C343D]+q[/color][color=#000000][color=#9900ff][math]=a\cdot\left(x-p\right)^2+q[/math].[br][/color][/color][/color][/b][color=rgb(51, 51, 51)]Denne form betegner vi [b]parallelforskydningsformen[/b].[/color]

Dersom andengradspolynomiet er givet på parallelforskydningsformen, [math]h\left(x\right)=a\left(x-p\right)^2+q[/math], er toppunktets koordinater[math]T\left(p,q\right)[/math].[br]Har andengradspolynomiet standardformen, [math]h\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math], gives toppunktet ved [math]T=\left(-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a}\right)=\left(-\frac{b}{2a},-\frac{d}{4a}\right),\quad d=b^2-4ac[/math].

Hvis "vendepunktet" for parablen er med på den del af grafen, som du undersøger (toppunktets førstekoordinat ligger i definitionsmængden, altså [math]x_T\in Dm\left(p\right)[/math]), vil største (a<0) eller mindste (a>0) funktionsværdi ([i]y[/i]-værdi) kunne bestemmes som toppunktets [i]y-[/i]værdi.[br]En undersøgelse af et andengradspolynomium mht. værdimængde vil derfor først bestemme, om definitionsmængden indeholder [math]x_T[/math], og hvis den gør, finde toppunktets andenkoordinat. Sammen med fortegnet for koefficienten [i]a[/i] har man så en ledetråd for, hvilken ende af intervallet [i]Vm[/i](p[i])[/i] og hvilken værdi, intervalenden antager.

I sætningen betegnes størrelsen [i]d[/i] [b]diskriminant[/b], [math]d=b^2-4ac[/math].

Udregning af parallelforskydningsformen giver [math]h\left(x\right)=a\left(x-p\right)^2+q=ax^2+\left(-2ap\right)x+\left(ap^2+q\right)[/math].[br]Her har vi koefficient til [i]x[/i] svarende til [i]b[/i] og den afsluttende parentes, der svarer til [i]c[/i], idet der ikke er ganget [i]x[/i] på de to led i parentesen.[br]Vi søger toppunktets koordinater, [math]T\left(p,q\right)[/math], og kan fra udtrykket fundet for [i]b[/i] isolere [i]p[/i]: [math]b=-2ap\quad\Longleftrightarrow\quad p=-\frac{b}{2a}[/math]. [br]Dermed er [b]toppunktets førstekoordinat[/b] fastlagt.[br][br]Vi går videre til "afsluttende parentes", hvor [math]c=ap^2+q\quad\Longleftrightarrow\quad q=c-ap^2[/math]. [br]Substitution af [i]p[/i] giver [math]q=c-a\cdot\left(-\frac{b}{2a}\right)^2=c-a\cdot\frac{b^2}{4a^2}=c\cdot\frac{4a}{4a}-\frac{b^2}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a}[/math], hvormed [b]toppunktets andenkoordinat[/b] er fastlagt.[br][br]Toppunktet altså [math]T\left(-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a}\right)[/math], og beviset er færdigt.[br][br]En klar gennemgang af to måder at bevise sammenhængen mellem parameterværdierne [i]a, b[/i] og [i]c[/i] i standardformen af andengradspolynomiet og koordinaterne for dettes toppunkt ([i]med lidt andre formuleringer[/i]) findes på [url=http://matematikeren.dk/matematikbeviser/toppunktsformlen/]matematikeren.dk[/url]. Her gennemgås to metoder, og det som tekst og eksempler ovenfor lægger op til, er [b]parallelforskydningsmetoden[/b] til at bevise sammenhængen mellem andengradspolynomiet udtrykt på "[i]abc[/i]-formen" og koordinatparret for grafens toppunkt. ([i]Forskydningerne sker parallelt med koordinatsystemets akser)[/i].

Hvis "vendepunktet" for parablen er med på den del af grafen, som du undersøger (toppunktets førstekoordinat ligger i definitionsmængden, altså [math]x_T\in Dm\left(p\right)[/math]), vil største (a<0) eller mindste (a>0) funktionsværdi ([i]y[/i]-værdi) kunne bestemmes som toppunktets [i]y-[/i]værdi.[br]En undersøgelse af et andengradspolynomium mht. værdimængde vil derfor først bestemme, om definitionsmængden indeholder [math]x_T[/math], og hvis den gør, finde toppunktets andenkoordinat. Sammen med fortegnet for koefficienten [i]a[/i] har man så en ledetråd for, hvilken ende af intervallet [i]Vm[/i](p[i])[/i] og hvilken værdi, intervalenden antager.