Calcolare la derivata

Nel paragrafo precedente abbiamo scoperto il significato del concetto di derivata. Puoi vedere un riassunto interattivo di quanto detto finora a questo indirizzo: [url=https://ggbm.at/b2rVfyDa]https://ggbm.at/b2rVfyDa[/url].[br][br]Ora inizieremo a vedere come si può concretamente calcolare questo strumento molto importante. Vediamo un primo esempio nell'animazione qui sotto.
NOTA: La variazione [math]\large{\Delta x}[/math] vale in realtà sempre [math]\large{h}[/math]: non è necessario fare ogni volta i conti), dato che [math]\large{h}[/math] è proprio l'incremento di cui ci muoviamo lungo questo asse.[br][br]Riassumiamo. [br]1) Abbiamo calcolato la velocità media partendo dal punto [math]\large{\textcolor{blue}{x_A=1}}[/math] e spostandoci di un incremento [math]\large{h}[/math], quindi [math]\large{\textcolor{red}{x_B=1+h}}[/math]. Questa velocità media è data dal rapporto incrementale :[br][br][math]\Large{R(1,h) =\frac{f(\textcolor{red}{1+h})-f(\textcolor{blue}{1})}{h}\qquad \qquad \qquad (1)}[/math][br][br]Per calcolare [math]\large{f(\cdots)}[/math] sostituiamo come al solito nell'espressione della funzione (in questo caso [math]\large{\textcolor{#007700}{y=x^2}}[/math]) il valore della [math]\large{x}[/math] nel punto considerato:[br][list][*]nel caso del punto [math]\large{\textcolor{blue}{A}}[/math] abbiamo un numero [math]\large{\textcolor{blue}{(1)}}[/math] e quindi sostituiamo come al solito: [math]\large{\textcolor{blue}{y_A}=f(\textcolor{blue}{1})=\textcolor{#007700}{(\textcolor{blue}{1})^2}=\textcolor{blue}{1}}[/math][/*][br][*]nel caso del punto [math]\large{\textcolor{red}{B}}[/math] abbiamo [b]un'espressione algebrica[/b] [math]\large{\textcolor{red}{(1+h)}}[/math]: la sostituiamo e troviamo [math]\large{\textcolor{red}{y_B}=f(\textcolor{red}{1+h})=\textcolor{#007700}{(\textcolor{red}{1+h})^2}=\textcolor{red}{1+h^2+2h}}[/math] [/*][/list][br]Inserendo i risultati ottenuti nella formula [math]\large{(1)}[/math] abbiamo ottenuto[br][br][math]\Large{R(1,h) =\cdots = h+2 \qquad \qquad \qquad (2) }[/math][br][br]Questo è il rapporto incrementale nel punto [math]\large{\textcolor{blue}{x_A=1}}[/math], cioè fornisce la velocità media con cui cambia la funzione nel punto [math]\large{\textcolor{blue}{x_A=1}}[/math], con la media svolta su un intervallo lungo [math]\large{h}[/math].[br][br]2) Aver lasciato indicato l'incremento [math]\large{h}[/math] con una lettera, invece che assegnarli un valore specifico, ci permette di ottenere la velocità media per qualsiasi ampiezza [math]\large{h}[/math] (basta sostituire il valore che ci interessa nell'espressione [math]\large{(2)}[/math]. A noi interessa far tendere [math]\large{h}[/math] a zero, per rendere la velocità media sempre più accurata finchè non coincide con la velocità effettiva nel punto [math]\large{\textcolor{blue}{x_A=1}}[/math]. Otteniamo così la derivata in quel punto.[br][br]3) Quello che si fa solitamente è generalizzare il procedimento e calcolare il valore della derivata [i][b][color=#ff0000]per un qualsiasi valore [math]\large{\bar{x}}[/math] delle ascisse[/color][/b][/i] (come al solito [b]usiamo una lettera[/b], in questo caso [list=1][*][math]\large{\bar{x}}[/math],[b] per indicare un valore qualsiasi [/b]da assegnare alla [math]\large{x}[/math], come [math]\large{1}[/math] nel nostro primo esempio). Nel caso della funzione dell'esempio il rapporto incrementale diventa:[/*][/list][br][math]\Large{R(x) = \frac{(\bar{x}+h)^2-\bar{x}^2}{h} = \frac{\bar{x}^2+h^2+2h\bar{x}-\bar{x}^2}{h}= \frac{h^2+2h\bar{x}}{h}}[/math][br][br]Come vedi i calcoli sono identici a quelli dell'esempio, ma qui abbiamo il vantaggio di aver mantenuto generico il valore [math]\large{\bar{x}}[/math] della ascissa di partenza, per cui saremo in grado di ottenere il valore della derivata per un valore qualsiasi del dominio della funzione. Raccogliendo e semplificando otteniamo:[br][br][math]\large{R(x) = \frac{h(h+2\bar{x})}{h}=h+2\bar{x}}[/math] [br][br]Notiamo che in questo caso il rapporto incrementale (cioè il coefficiente angolare della retta quando è ancora secante) cambia non solo in base all'incremento [math]\large{h}[/math] che consideriamo per definire il secondo punto, ma anche a seconda del valore [math]\large{\bar{x}}[/math] del punto in cui ci interessa determinare il valore finale. A questo punto possiamo ottenere la derivata calcolando il limite per [math]\large{h\to 0}[/math]:[br][br][math]\Large{f'(\bar{x}) = \lim_{h \to 0}(h+2\bar{x})=2\bar{x}}[/math][br][br]Nel caso in cui [math]\large{\bar{x}=1}[/math] otteniamo di nuovo 2, come nell'esempio visto dell'animazione. Questa espressione però è molto più potente, perchè ci permette di calcolare la derivata in un punto qualsiasi semplicemente sostituendo il valore della [math]x[/math] nell'espressione della derivata. Ad esempio se vogliamo sapere la velocità/inclinazione della funzione nel punto [math]\large{\bar{x}=-3}[/math] ci basta sostituire questo valore nell'espressione della derivata:[br][br][math]\Large{f'(-3) = 2(-3) = -6}[/math][br][br][math]\large{-6}[/math] è il valore della derivata nel punto considerato, quindi è la velocità/inclinazione effettiva della funzione [math]\large{\textcolor{#007700}{y=x^2}}[/math] in quel punto.[br][br][color=#ff0000][b]La derivata di una funzione [math]\large{f}[/math] è quindi a sua volta una funzione, che ad un certo valore [math]\large{x}[/math] associa [/b][b]"l'inclinazione della funzione"in quel punto[/b] (che, per essere più precisi, è il valore del coefficiente angolare della retta tangente alla funzione in quel punto).[/color][br][br]Per questo motivo nel calcolo della derivata si usa direttamente la variabile [math]\large{x}[/math], e non una [math]\large{\bar{x}}[/math] "di appoggio", dato che comunque si tratta della ascissa su cui ci si potrà muovere per ottenere i vari valori della funzione derivata. Nel nostro caso diremo quindi che data la funzione [math]\large{f\left(x\right)=x^2}[/math], la sua derivata è [math]\large{f'(x)=2x}[/math].
Nel paragrafo precedente abbiamo scoperto il significato del concetto di derivata, ora inizieremo a vedere come si può concretamente calcolare questo strumento molto importante. Vediamo un primo esempio nell'animazione qui sotto.
Nel paragrafo precedente abbiamo scoperto il significato del concetto di derivata, ora inizieremo a vedere come si può concretamente calcolare questo strumento molto importante. Vediamo un primo esempio nell'animazione qui sotto.

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