Das Applet unten zeigt [i][b]konfokale bizirkulare Quartiken[/b][/i] mit 4 verschiedenen Brennpunkten auf der [math]x[/math]-Achse[br]bei [math]f,-f,\frac{1}{f},-\frac{1}{f}[/math]. Die Kurven schneiden sich orthogonal und sind [math]x=const[/math], bzw. [math]y=const[/math] Kurven einer elliptischen Funktion [math]z\mapsto g\left(z\right)[/math], welche Lösung der folgenden [i]elliptischen Differentialgleichung[/i] ist:[br][list][*] [math]\left(g\,'\left(z\right)\right)^2=\left(g\left(z\right)^2-f^2\right)\cdot\left(g\left(z\right)^2-\frac{1}{f^2}\right)=\left(g\left(z\right)-f\right)\cdot\left(g\left(z\right)+f\right)\cdot\left(g\left(z\right)-\frac{1}{f}\right)\cdot\left(g\left(z\right)+\frac{1}{f}\right)[/math][/*][/list]Die Quartiken sind, wie die Brennpunkte, symmetrisch bezüglich der Achsen und des Einheitskreises.[br]Die Gleichungen der 2-teiligen Quartiken, wie sie unten abgebildet sind, lauten[br][list][*][math]\left(z\bar{z}\right)^2-\left(s^2+\frac{1}{s^2}\right)\cdot x^2-\frac{\left(\left(f^2+\frac{1}{f^2}\right)\cdot\left(s^2+\frac{1}{s^2}\right)-4\right)\cdot f^2}{\left(f^2-s^2\right)\cdot\left(f^2-\frac{1}{s^2}\right)}\cdot y^2+1=0[/math], wobei [math]f[/math] die Brennpunkte und [math]s[/math] die Scheitel auf der [math]x[/math]-Achse festlegen.[/*][/list]An der Darstellung erkennt man, dass die Brennpunkte und die Scheitel symmetrisch zur [math]y[/math]-Achse und zum Einheitskreis liegen.[br][size=85]Die beiden dunkleren Quartiken sind [b]CASSINI[/b]-Quartiken, bzw. das möbiusgeometrische Bild einer solchen.[/size][size=85] [br]Für den Scheitel[/size] [math]s=\sqrt{f^2+\sqrt{f^4-1}}[/math] [size=85]erhält man die Gleichung[/size] [br][list][*][math]\left|z-f\right|^2\cdot\left|z+f\right|^2+1-f^4=\left|z^2-f^2\right|^2+1-f^4=\left(x^2+y^2\right)^2-2f^2\cdot x^2+2f^2\cdot y^2+1=0[/math], [math]f>1[/math].[/*][/list] [size=85]Das ist einerseits eine CASSINI-Gleichung, es läßt sich aber auch als eine Kreisgleichung für[/size] [math]w=z^2[/math] [size=85]deuten![br]Die Konstruktion der CASSINI aus einem Kreis mit der [i][b]komplexen Wurzelfunktion[/b][/i] kann angezeigt werden.[br]Einzelne dieser Quartiken können mit Hilfe der [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] konstruiert werden.[br]Da die Berechnungen der impliziten Kurvenschar rechen- und Speicherplatz-intensiv sind, müssen die Scharkurven nach Änderungen der Parameter neu berechnet werden.[/size]

Die einzelnen Quartiken besitzen Eigenschaften, wie sie von Kegelschnitten her bekannt sind.[br]Man kann es auch so sehen: die Kegelschnitte sind möbiusgeometrisch Spezialfälle der bizirkularen Quartiken, nämlich solche, bei denen Brennpunkte zusammenfallen.[br]Für [i]Ellipsen[/i] und [i]Hyperbeln[/i] ist [math]\infty[/math] ein doppelt zählender Brennpunkt, für [i]Parabeln[/i] ist [math]\infty[/math] sogar ein dreifacher Brennpunkt.[br]Ohne Begründung an dieser Stelle nennen wir einige Eigenschaften dieser Quartiken, die allgemein durch Gleichungen der folgenden Form beschrieben werden:[br][list][*][math]\alpha_1\cdot\left(z\bar{z}\right)^2+\left(\alpha_2\cdot x+\alpha_3\cdot y\right)\cdot z\bar{z}+\alpha_4\cdot x^2+\alpha_5\cdot xy+\alpha_6\cdot y^2+\alpha_7\cdot x+\alpha_8\cdot y+\alpha_9=0[/math] [/*][/list][u][i][b]Eigenschaften:[/b][/i][/u] als Beispiele sollen die oben angezeigten Quartiken dienen, oder [i]konfokale Kegelschnitte[/i] mit zwei Brennpunkten, oder [i]konfokale Parabeln[/i].[br][list][*]Wählt man von den im Allgemeinen 4 verschiedenen Brennpunkten 2 Paare aus, so ergeben sich zwei [i][b]hyperbolische Kreisbüschel[/b][/i], das sind Büschel von Kreisen durch 2 verschiedene Grundpunkte. [br]Durch jeden Punkt der Ebene, von den Punkten der Symmetrieachsen abgesehen, geht aus jedem der beiden Büschel je ein "Brennkreis". Die Quartiken der Schar sind [i][b]Winkelhalbierende[/b][/i] dieser Kreispaare. [br]Bei Kegelschnitten sind die Geraden durch die Brennpunkte "Brennlinien". Man kann aber auch die Kreise durch die Brennpunkte und dazu die Parallelen zur [math]x[/math]-Achse als "Brennkreise" ansehen: die Kegelschnitte sind Winkelhalbierende dieser Brennlinien. Dies kann man mit Ge[icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon]gebra nacherforschen.[/*][*]Zu jeder Symmetrie gibt es die Quartik [i][b]doppelt-berührende[/b][/i] Kreise. [br]Bei den Kegelschnitten sind das Kreise mit den Mittelpunkten auf einer der Achsen, welche den Kegelschnitt in 2 Punkten berühren. Da der Fernpunkt [math]\infty[/math] möbiusgeometrisch sowohl ein mindestens doppelt zählender Brennpunkt, als auch ein Punkt der Kurve darstellt, sind die Kegelschnitt-Tangenten in diesem Sinne doppelt-berührende Kreise. [br]Wählt man einen der Brennpunkte aus, so stellt man fest: die Spiegelpunkte dieses Brennpunkts an den doppelt-berührenden Kreisen liegen auf den "[i][b]Leitkreisen[/b][/i]", bzw. [i][b]Leitgeraden[/b][/i]. [br]Spiegelt man zB. einen der Brennpunkte einer Ellipse (oder einer Hyperbel) an den Tangenten, so liegen die Spiegelbilder auf dem Leitkreis, auch [i][b]Direktrix[/b][/i] genannt. [br]Spiegelt man an den [i][math]y[/math][/i]-achsensymmetrischen doppelt-berührenden Kreisen, so liegen die Bilder auf der Leitgeraden.[/*][*]Die [i][b]Leitkreise[/b][/i] sind symmetrisch zur [math]x[/math]-Achse, und man kann mit ihnen die Kurvenpunkte konstruieren. Bei Ellipsen ist das die "Gärtnerkonstruktion". Umgekehrt kann man aus einem Quartikpunkt mit Hilfe der Brennpunkte und der Symmetrien die Leitkreise konstruieren. Im obigen Bild besitzt jede Quartik neben der [math]x[/math]-Achse 3 Leitkreise! [size=85][/size][/*][/list][br][size=85]In dem Applet unten werden für eine zweiteilige Quartik die Brennkreise, die Leitkreise und die doppelt-berührenden Kreise angezeigt. Letztere können in Bewegung gesetzt werden. Ein Brennpunkt und ein Quartikscheitel sind ebenfalls beweglich![br]Die Quartik selber ist konstruiert als [i][b]Ortslinie[/b][/i] mit Hilfe der Leitkreise. Das kann man daran erkennen, dass [b]Geogebra[/b] fälschlicherweise auch Punkte auf der x-Achse in der Ortslinienfarbe einfärbt![/size]

[size=50][size=85]Übrigens: ist der bewegliche Brennpunkt [math]f>1[/math] Mittelpunkt der Leitkreise, so ist die Quartik eine [b]CASSINI[/b]-Quartik![br]Läßt man die Brennpunkte fest und bewegt man nur den Scheitel auf der x-Achse, so erhält man die Quartiken einer konfokalen Schar. Zwei der Kurven sind CASSINI-Quartiken.[/size][br][br]Dieses Arbeitsblatt ist Teil des Geogebrabooks [url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh]Kegelschnitt-Werkzeuge[/url][/size]