Máximos e Mínimos: situações-problema com recursos dinâmicos
Este trabalho é um Produto Educacional desenvolvido por Dienifer Tainara Cardoso, sob orientação de Ivanete Zuchi Siple e coorientação de Elisandra Bar de Figueiredo, no Mestrado em Ensino de Ciências, Matemática e Tecnologias, da Universidade do Estado de Santa Catarina. Aqui você pode encontrar alguns problemas de Máximos e Mínimos de Funções Polinomiais, Racionais e Trigonométricas possíveis de serem aplicados no Ensino Básico e/ou Superior. Os problemas propostos são mediados pelas potencialidades do software GeoGebra. Este material está relacionado à dissertação: Resolução de Problemas e o Software GeoGebra no ensino e aprendizagem de Otimização de Funções.
Tabla de Contenidos
- 1. Apresentação
- 1.1 Apresentação
- 1.2 Sobre as autoras
- 1.3 Descrição do Produto Educacional
- 1.4 Ícones
- 2. Metodologia de Ensino
- 2.1 Metodologia de ensino-aprendizagem-avaliação através da resolução de problemas
- 3. Exploração geométrica sobre Máximos e Mínimos
- 3.1 Ensino Médio: uma possível abordagem de Máximos e Mínimos
- 3.2 Ensino Superior: breve abordagem sobre máximos e mínimos
- 4. Situações-problema de Otimização
- 4.1 Área máxima da casa
- 4.2 Volume máximo da caixa
- 4.3 Área máxima ou mínima das figuras usando um barbante
- 4.4 Faturamento máximo de uma viação
- 4.5 Área máxima do cercado de uma horta
- 4.6 Problema da calha
- 4.6.1 Capacidade máxima da calha retangular
- 4.6.2 Capacidade máxima da calha triangular
- 4.6.3 Capacidade máxima da calha trapezoidal
- 4.6.4 Capacidade máxima da calha semicircular
- 4.6.5 Capacidade máxima da calha retângulo-circular
- 4.7 Análise de função racional
- 5. Algumas considerações e perspectivas
- 5.1 Considerações
- 6. Manuais e Links
- 6.1 Manuais do Produto/GeoGebra
- 6.2 Links do Caderno Didático
- 7. Deixe sua opinião
- 7.1 Pesquisa de opinião
- 8. Referências
- 8.1 Referências
1.1 Apresentação
[justify]Prezado(a) Professor(a),[br][br]Este Produto Educacional, que também chamamos de Caderno Didático, é resultado do desenvolvimento da pesquisa intitulada “Resolução de Problemas e o softwares GeoGebra no ensino e aprendizagem de Otimização de Funções”, realizada no âmbito do Mestrado Profissional em Ensino de Ciências, Matemática e Tecnologias da Universidade Estadual de Santa Catarina - Centro de Ciências Tecnológicas. [br][br]Este material apresenta sugestões de problemas de Otimização de Funções Polinomiais, Racionais e Trigonométricas, mediados pelas potencialidades da tecnologia, podendo ser aplicado a turmas de Ensino Básico e/ou Superior apoiados pela metodologia de ensino-aprendizagem-avaliação através da resolução de problemas. Além disso, são citadas sugestões de estratégias e organização de ensino com o objetivo de auxiliar o professor no uso das atividades.[br][br]Para mais detalhes sobre o desenvolvimento da pesquisa e sua fundamentação teórica, pesquise o trabalho de dissertação na página do PPGCMT pelo link [url=https://www.udesc.br/cct/ppgecmt/tcc]https://www.udesc.br/cct/ppgecmt/tcc[/url][br][br]Desejamos que esse material possa trazer contribuições para a sua prática docente.[/justify][br]
2.1 Metodologia de ensino-aprendizagem-avaliação através da resolução de problemas
[justify]A elaboração das atividades apresentadas nesse Caderno Didático foi guiada pelas concepções da metodologia de ensino-aprendizagem-avaliação através da resolução de problemas. Nessa metodologia de ensino, uma situação-problema é apresentado como ponto de partida para construção de novos conceitos e conteúdos. [br][br]Um problema deve gerar questionamentos/dúvidas e a necessidade de desenvolver técnicas e conceitos matemáticos como resposta ao problema. Na aprendizagem de Matemática [i]através[/i] da resolução de problemas temos um caminho que sai do concreto (um problema prático) em direção ao abstrato (simbologias e técnicas matemáticas) (SCHROEDER; LESTER, 1989).[br][br]Diante disso, além das situações-problema propostas nesse caderno serem úteis para praticar, verificar e desenvolver o conhecimento do aluno, também podem ser utilizadas para dar início a aprendizagem do conteúdo de máximos e mínimos, de modo que possibilite o aluno a utilizar seus conhecimentos prévios no desenvolvimento das atividades. [br][br]Nessa concepção, os alunos são co-construtores de seu próprio conhecimento e, os professores, os responsáveis por conduzir esse processo. Onuchic e Allevato (2011), defendem que o mais importante nessa metodologia é a de ajudar os alunos a compreenderem os conceitos, os processos e as técnicas operatórias necessárias dentro das atividades feitas. [/justify][justify]Diante disso, Allevato e Onuchic (2014) defendem dez etapas que devem ser seguidas para aplicação dessa metodologia (clique em 'Animar' na representação abaixo):[br][/justify]
[justify]A descrição das etapas pode ser consultada em Onuchic [i]et al[/i] (2014) e também na dissertação que da suporte a esse caderno: Resolução de Problemas e o Software GeoGebra no Ensino e Aprendizagem de Otimização de Funções ([url=https://www.udesc.br/cct/ppgecmt/tcc]https://www.udesc.br/cct/ppgecmt/tcc[/url]) .[br][br]A partir dessa metodologia, os problemas propostos nesse Caderno Didático foram elaborados/adaptados para que professores de diferentes níveis possam utilizar no ensino e aprendizagem de Máximos e Mínimos de Funções Polinomiais, Racionais e Trigonométricas. [/justify]
3.1 Ensino Médio: uma possível abordagem de Máximos e Mínimos
[justify]Aqui apresentamos algumas situações-problema sobre Máximos e Mínimos de funções que podem ser exploradas em conexão com a geometria. Não pretendemos abordar algebricamente o conceito da derivada envolvida nessas situações, mas sim possibilitar ao aluno, pela simulação, uma visão intuitiva sobre caracterização de máximos e mínimos de uma função. [br][br]Inicialmente o professor pode explorar com os alunos o conceito de reta tangente, utilizando o Aplicativo 1.[/justify]
Aplicativo 1
[url=https://ggbm.at/A9HZEWpe]Baixar 'Aplicativo 1'[/url]
Utilizando o Aplicativo 2, analise outras funções e crie conjecturas.
Aplicativo 2 - faça conjecturas
[url=https://ggbm.at/gSdmff6D]Baixar 'Aplicativo 2'[/url]
Você percebeu que a inclinação da reta tangente varia conforme movemos o ponto A sobre a função?
Sendo assim, podemos afirmar que para cada abscissa do ponto A, obtemos um respectivo valor como coeficiente angular (tangente da inclinação da reta tangente)?
Analise o Aplicativo 3 que trata sobre o comportamento do coeficiente angular.
Aplicativo 3
[url=https://ggbm.at/ajnmAxWR]Baixar 'Aplicativo 3' [/url]
Função Derivada
[justify]Seguido disso, o professor pode explorar com os alunos como encontrar a função que apresenta os valores do coeficiente angular da reta tangente em cada ponto (ou seja, a função derivada).[br]Para isso o professor pode apresentar aos alunos a regra de derivada de função polinomial:[br][br][math]f'\left(x\right)=nx^{n-1}[/math][br][br]Exemplo: Calcular a função derivada da função f(x) apresentada no 'Aplicativo 1'. [br][br][math]f'\left(x\right)=3x^2+2\cdot4x^1+0=3x^2+8x[/math][br][/justify]
Em seguida o professor pode calcular a função derivada de outras funções (faça isso utilizando também o Aplicativo 3):[br][br]1) [math]g\left(x\right)=5x-1[/math][br] [math]g'\left(x\right)=5[/math][br][br]2) [math]h\left(x\right)=x^3-4x+6[/math][br] [math]h'\left(x\right)=3x^2-4[/math][br][br]3) [math]m\left(x\right)=x^4+2x^2-x[/math][br] [math]m'\left(x\right)=4x^3+4x-1[/math]
Exercícios
1) Derive a função:[br][br]a) [math]x^2-2x+2[/math][br]b) [math]3x^4+5x[/math][br]c) [math]\frac{1}{2}x^3-6x^2+4x-1[/math]
Diante disso, vamos analisar como encontrar o(s) ponto(s) de Máximo ou Mínimo de uma função, utilizando sua derivada.[br][br]Para isso, vamos analisar o Aplicativo 4.
Aplicativo 4
[url=https://ggbm.at/gxCJCVvk]Baixar 'Aplicativo 4'[/url]
[justify]No Ensino Médio os alunos sabem calcular as raízes de função polinomial do primeiro e segundo grau, todavia, dificilmente é explorado os cálculos de raízes de funções de maior grau. Um método relativamente simples de calcular as raízes de funções contínuas é usando o Teorema de Bolzano. [br][br]Analise e apresente a turma o 'Aplicativo 5' abaixo.[br]Obs.: Essa apresentação não demonstra o teorema.[/justify]
Aplicativo 5
[size=85]Adaptado de Yang (2016).[/size]
[url=https://ggbm.at/XtbtZ2as]Baixar 'Aplicativo 5'[/url]
Exemplo: Vamos encontrar o valor aproximado de uma raiz da função [math]f\left(x\right)=x^4+x-3[/math].[br][br]Resolução: Perceba que f(1)=-1<0 e f(2)=15>15, assim f(1)*f(2)<0, o que satisfaz o teorema. Com isso podemos afirmar que existe ao menos uma raiz nesse intervalo. Usando uma calculadora, vamos testar outros valores que se aproximam cada vez mais da raiz da função:[br]f(1,1)=-0,44 e f(1,5)=3,56[br]Assim, perceba que a raiz está muito próximo de x=1,1, afinal, f(1,2)=0,27>0.
Resolva:
Calcule o valor aproximado de uma raiz da função [math]f\left(x\right)=x^5-x^2+2x+3[/math].
Usando os conhecimentos vistos até o momento, verifique qual o valor mínimo da função [math]f\left(x\right)=2x^4+x+1[/math].
4.1 Área máxima da casa
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Área máxima da casa em um terreno triangular
Público alvo: Ensino Médio ou Superior.[br] [br][justify]Objetivo: Abordar um problema de otimização envolvendo a aplicação de uma função quadrática utilizando a metodologia de ensino-aprendizagem-avaliação através da resolução de problemas mediada pelo software GeoGebra.[/justify]
[justify][/justify][size=100][justify][size=150][/size][/justify][/size]
Situação-problema 01
[justify]José ganhou como herança um terreno triangular, conforme aplicativo 'Área da casa' abaixo, e deseja construir uma casa retangular com a maior área possível. Entretanto, ele precisa respeitar algumas restrições impostas pelo Plano Diretor de sua cidade para a construção. Algumas das restrições são que o canto indicado pelo ponto P fique sobre a lateral MN do terreno e seja um dos cantos da casa, e que as laterais da casa, paralelas aos lados OM e ON do terreno, devem ficar a 1m de distância desses lados. [br][br]Ajude José encontrar as medidas da casa, que deverá construir, para que a área dela seja máxima.[/justify]
[justify][/justify][size=100][justify][size=150][/size][/justify][/size]
Área da casa
[size=85]Adaptado de Cardoso (2016).[/size][br][url=https://ggbm.at/BSeh8kqS][br]Baixar o aplicativo 'Área da casa'[/url]
[justify][/justify][size=100][justify][size=150][/size][/justify][/size]
A área da casa está variando? (Analise o aplicativo 'Área da casa')
Existe alguma dependência entre as medidas da casa?
O que está limitando a medida altura da casa?
Existe uma função que representa a medida ‘base’ da casa? E alguma que represente a ‘altura’? Quais? (não esqueça de considerar as restrições).
É possível descrever uma função que represente a área da casa? Se sim, qual?[br]
Qual o valor da área máxima da casa nessa situação? (Realize os cálculos e verifique no aplicativo)[br]
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Problema 1 - Área máxima da casa em PDF
[justify][/justify][size=100][justify][size=150][/size][/justify][/size]
Conversando com o professor
[justify][/justify][size=100][justify][size=150][/size][/justify][/size]
[url=https://ggbm.at/BSeh8kqS]Atividade 01 - primeiro momento[/url][br][br][url=https://ggbm.at/EsWSPnrb]Atividade 01 - segundo momento[br][/url][br][url=https://ggbm.at/kshPWRaZ]Atividade 01 - refutações[/url]
[justify][/justify][size=100][justify][size=150][/size][/justify][/size]
Problema 1 - Generalização - área máxima da casa em PDF
5.1 Considerações
[justify] Trabalhamos a tecnologia na resolução de problemas de maneira que possibilitasse o professor/aluno a criar conjecturas, investigar hipóteses, visualizar conceitos e analisar comportamento de funções, e com isso desenvolver um conhecimento intuitivo sobre determinados conceitos. [br][br] Esse Caderno Didático foi desenvolvido para professores e alunos de Cálculo Diferencial e Integral e do Ensino Básico. Além de poder contribuir com o ensino e aprendizagem de Máximos e Mínimos, buscamos de alguma maneira evidenciar a relação entre esses dois mundos de ensino, que para muitos são distintos, enquanto que na verdade se completam e se relacionam continuamente.[br] [br] O caderno não é algo fechado e obstruído de modificações. O capítulo 7 é destinado aos usuários que queiram fornecer sugestões de melhorias e adaptações ao caderno. [br][br] Vale ressaltar que para os professores com pouco acesso à tecnologia na sua escola ou faculdade, podem utilizar os aplicativos apresentados no caderno através de um smartphone, o qual aumenta a chance dos alunos portarem. [br][br] Sugerimos que o caderno seja implementado com outros conceitos tanto de derivadas, como limites e integrais, além da proposição de novas situações-problema sobre Máximos e Mínimos de Funções. [br][br] Esperamos que esse trabalho possa contribuir com ensino e aprendizagem de Otimização de Funções, e fomente o interesse em implantar a tecnologia na sala de aula, com o viés de possibilitar aos alunos manusear e visualizar conceitos dinâmicos. [/justify]
6.1 Manuais do Produto/GeoGebra
[justify]Para resolver os problemas propostos nesse Caderno Didático utilizando o GeoGebra é necessário que professor e aluno conheçam alguns comandos e ferramentas básicas do software. Para isso, construímos um pequeno manual para auxiliá-los (Ver PDF abaixo).[/justify]
Manual para resolver alguns problemas propostos no Caderno Didático
Além do PDF acima, deixamos outros manuais, tutoriais e vídeos que podem auxiliar. Aqui deixaremos o link do Manual do GeoGebra [url=https://wiki.geogebra.org/pt/Manual][1][/url], Tutoriais [url=http://wiki.geogebra.org/en/Tutorials][2][/url] e páginas do Youtube sobre Curso de GeoGebra [url=https://www.youtube.com/watch?v=0wz4UGD8b7k&list=PLZJbXU8AYkTVUNxdrPPMNlwj-xKqLGMEd][3][/url] [url=https://www.youtube.com/watch?v=9-orPBR1TXo&list=PL8884F539CF7C4DE3][4][/url] (Esses cursos não foram desenvolvidos pelo grupo do GeoGebra, nem pela autora deste trabalho). [br][br][size=85][url=https://wiki.geogebra.org/pt/Manual][1][/url] Disponível em: https://wiki.geogebra.org/pt/Manual Acessado em: 27 mar. 2018.[br][br][url=http://wiki.geogebra.org/en/Tutorials][2][/url] Disponível em: http://wiki.geogebra.org/en/Tutorials Acessado em: 27 mar. 2018.[br][br][url=https://www.youtube.com/watch?v=0wz4UGD8b7k&list=PLZJbXU8AYkTVUNxdrPPMNlwj-xKqLGMEd][3][/url] Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=0wz4UGD8b7k&list=PLZJbXU8AYkTVUNxdrPPMNlwj-xKqLGMEd Acessado em: 27 mar. 2018. [br][br][url=https://www.youtube.com/watch?v=9-orPBR1TXo&list=PL8884F539CF7C4DE3][4][/url] Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=9-orPBR1TXo&list=PL8884F539CF7C4DE3 Acessado em: 27 mar. 2018.[br][/size][br]
8.1 Referências
ALLEVATO, Norma S. Gomes; ONUCHIC, Lourdes de la Rosa. Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática: por que Através da Resolução de Problemas?. In: ONUCHIC, Lourdes de la Rosa; ALLEVATO,[br]Norma Suely Gomes; NOGUTI, Fabiane Cristina Hopner; JUSTILIN, Andressa Maria. [b]Resolução de Problemas[/b]: teoria e prática.Jundiaí: Paco Editorial, 2014, p. 35 – 52. [br][br]CARDOSO, Dienifer Tainara. [b]Resolução de problemas e o software GeoGebra no ensino-aprendizagem de Otimização[/b]. Dissertação (Mestrado). Universidade do Estado de Santa Catarina. 2018, 155 f.[br][br]CARDOSO, Dienifer Tainara.[b] Teorema Fundamental do Cálculo: [/b]uma abordagem dinâmica. Monografia (Graduação). Universidade do Estado de Santa Catarina. 2016, 132 f.[br][br]DANTAS, Sérgio. [b]Estudo do volume máximo de uma caixa[/b]. 2015. Disponível em: https://www.geogebra.org/m/Z2k8KRSy. Acessado em: 14 de março de 2018. [br][br]DANTE, Luiz Roberto. [b]Matemática[/b]: contexto e aplicações. v. 1. 3 ed. São Paulo: Ática, 2004.[br][br]HOFFMANN, Laurence D; BRADLEY, Gerald L. [b]Cálculo[/b]: um curso moderno e suas aplicações[b][i]. [/i][/b]7ª ed. Rio de Janeiro: LTC. 2002.[br][br]YANG, Jerry. 2016. [b]Bolzano's Theorem.[/b] Disponível em: https://www.geogebra.org/m/Rb9VJVH8. Acessado em: 07 de maio de 2018. [br][br]LEMKE, Raiane.[b] F2V:[/b] recursos dinâmicos para Cálculo. Disponível em: . Acessado em: 01 de junho de 2018. [br][br]MENINO, Fernanda dos Santos; ONUCHIC, Lourdes de La Rosa. O problema da calha e o uso da metodologia de ensino-aprendizagem-avaliação de Matemática através da resolução de problemas nos cursos de Engenharia. In: ONUCHIC, Lourdes de La Rosa; JUNIOR, Luiz Carlos Leal; PIRONEL, Márcio. (Org.). [b]Perspectivas para Resolução de Problemas[/b]. São Paulo, Ed. Livraria da Física, 2017. [br][br]ONUCHIC, Lourdes de la Rosa; ALLEVATO, Norma Suely Gomes. Pesquisa em Resolução de Problemas: caminhos, avanços e novas perspectivas. [b]Bolema,[/b] São Paulo, v. 25, n. 41, 2011, p. 73-98.[br][br]ONUCHIC, Lourdes de la Rosa. A resolução de problemas na educação matemática: onde estamos? E para onde iremos?. [b]Revista Espaço Pedagógico[/b] – Universidade de Passo Fundo, Passo Fundo, v. 20, n. 1, 2013, p. 88-104.[br][br]SANTOS, Angela Rocha; BIANCHINI, Waldecir. [b]Aprendendo Cálculo com Maple Cálculo de uma Variável. [/b]Disponível em: < http://www.im.ufrj.br/waldecir/calculo1/calculo1_maple/calculo1.pdf >. Acessado em: 18 de Junho de 2018.[br][br]SCHROEDER, Thomas L.; LESTER JUNIOR, Frank K. Developing Understanging in Mathematics via Problem Solving. In: P. R. Trafton (Ed.) New Directions for Elementar School Mathematics. [b]National Conuncil of Teachers os Mathematics[/b], Reston, VA:NCTM, 1989, p. 31-42.[br][br]STEWART, James. [b]Cálculo[/b][b].[/b] Vol 1. 6ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011.[br][br]TRAVASSOS, Maria Lúcia Galvão Leite; ARAIUM, Raquel; MORAIS, Rosilda dos Santos; SOUZA, Tatiane da Cunha Puti. Números e Operações. In: ONUCHIC, Lourdes de la Rosa; ALLEVATO, Norma Suely Gomes; NOGUTI, Fabiane Cristina Hopner; JUSTILIN, Andressa Maria. [b]Resolução de Problemas[/b]: teoria e prática.Jundiaí: Paco Editorial, 2014.