[color=#008080][color=#000000][size=100][size=150]Mit dem Symmetrieverhalten befassen wir uns in diesem Applet. Dabei wird erklärt, was man unter dem Symmetrieverhalten zu verstehen hat und wie man diese rausfindet.[br][br]Spricht man vom Symmetrieverhalten, so sind damit meistens Punktsymmetrie zu Koordinatenursprung und Achsensymmetrie zur Y-Achse gemeint. Diese beiden Themen sehen uns wir uns nun nacheinander an und dabei werden auch entsprechende Beispiele vorgestellt. [br][/size][/size][br][size=100][size=150][size=200][b]1. Punktsymmetrie[/b][/size][/size][/size][br][br][size=150]Das erste Symmetrieverhalten das wir uns nun ansehen ist die Punktsymmetrie. Beginnen wir erst einmal mit einer kurzen Definition bevor wir uns eine Grafik und Beispiele ansehen. Eine Funktion y = f(x) mit einem symmetrischen Definitionsbereich D heißt ungerade, wenn für jedes x [math]\in[/math] D die Bedingung f(-x) = -f(x) erfüllt ist. In diesem Fall ist die Funktion auch punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Die folgende Grafik zeigt die Funktion y = x[sup]3[/sup]. Wir nehmen uns nun einen Punkt auf deren Verlauf und spiegeln diesen am Koordinatenursprung (grüner Punkt). Tun wir dies, erhalten wir einen weiteren Punkt, der ebenfalls auf dem Kurvenverlauf liegt.[/size][/color][/color]

[size=100][size=150][color=#000000][b]Punktsymmetrie berechnen[br][br][/b][/color][/size][/size][size=100][size=85][size=150][color=#000000]Wie kann man nun berechnen, ob eine Punktsymmetrie vorliegt oder nicht? Dazu setzen wir f(-x) = -f(x) und sehen ob die Gleichung wahr ist. Damit hätten wir eine ungerade Funktion, welche punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist. Die folgenden Beispiele werden dies hoffentlich verdeutlichen.[br][br][b]Beispiel 1:[br][/b]Die Funktion f(x) = x[sup]3[/sup] soll auf eine Punktsymmetrie zum Ursprung untersucht werden. Dazu ermitteln wir zunächst f(-x) und -f(x).  Danach setzen wir f(-x) = -f(x). Ist die Gleichung korrekt, dann liegt eine Punktsymmetrie vor.[br][br]f(x) = x³[br][br]f(-x) = (-x)³ = -x³[br]-f(x) = -(x³) = -x³[br][br]f(-x) = -f(x)[br]-x³ = -x³ [math]\Longrightarrow[/math] [i]Punktsymmetrie[/i][/color][color=#008080][br][/color][br][color=#000000][b]Beispiel 2:[/b][br][/color][color=#000000]Die Funktion f(x) = -3x[sup]3[/sup] +2x soll aufeine Punktsymmetrie zum Ursprung untersucht werden. Dazu ermitteln wir zunächst f(-x) und -f(x).  Danach setzen wir f(-x) = -f(x). Ist die Gleichung korrekt, dann liegt eine Punktsymmetrie vor.[br][br]f(x) = -3x³ + 2x[br][br]f(-x) = -3(-x)³ +2(-x)[br]f(-x) = 3x³ -2x[br][br]-f(x) = -(-3x³ +2x)[br]-f(x) = 3x³ -2x[br][br]f(-x) = -f(x)[br]3x³ -2x = 3x³ - 2x [math]\Longrightarrow[/math][i] Punktsymmetrie[/i][/color][/size][/size][/size]

[color=#008080][color=#000000][size=200][b]2. Achsensymmetrie[/b][/size][br][br][/color][/color][size=150][color=#008080][color=#000000]Das zweite Symmetrieverhalten ist die Achsensymmetrie. [/color][color=#000000]Die Funktionskurve einer geraden Funktion ist spiegelsymmetrisch zur Y-Achse angeordnet. Dies bedeutet, dass jeder auf der Kurve gelegene Punkt durch Spiegelung an der Y-Achse wieder in einen Kurvenpunkt übergeht. Mathematisch findet man solch eine Funktion wenn gilt: f(-x) = f(x). Aber was bedeutet dies nun? Beginnen wir mit einer einfachen Grafik mit y = x[sup]2[/sup] bei der an der Y-Achse die Spiegelung durchgeführt wird. Spiegelt man den Punkt auf der rechten Seite, so liegt der gespiegelte Punkt auf der anderen Seite ebenfalls auf der Kurve.[/color][/color][/size]

[color=#000000][size=150][b]Achsensymmetrie berechnen[/b][/size][br][br][/color][size=150][color=#000000]Die Achsensymmetrie finden wir heraus, in dem wir f(x) = f(-x) setzen und nachsehen, ob auf beiden Seiten der Gleichung dann der selbe Ausdruck steht. Zum besseren Verständnis rechne ich einmal ein Beispiel vor.[br][br][/color][color=#000000][b]Beispiel 1:[br][/b][/color][color=#000000]Ist die Funktion f(x) = x[sup]2 [/sup]achsensymmetrisch oder nicht? Dazu ermitteln wir zunächst f(-x) und im Anschluss setzen wir f(x) = f(-x).[br][br]f(x) = x²[br]f(-x) = (-x)² = x²[br][br]f(x) = f(-x)[br]x² = x² [math]\Longrightarrow[/math] [i]Achsensymmetrie[/i][br][/color][br][color=#000000][b]Beispiel 2:[br][/b][/color][color=#000000]Ist die Funktion f(x) = x[sup]2[/sup] + 3 achsensymmetrisch oder nicht? Dazu ermitteln wir wieder f(-x) und im Anschluss setzen wir f(x) = f(-x).[br][br]f(x) = x² + 3[br]f(-x) = (-x)² + 3 = x² +3[br][br]f(x) = f(-x)[br]x² +3 = x² + 3 [math]\Rightarrow[/math] [i]Achsensymmetrie[/i][/color][/size]