Szélsőérték feladatok
Másodfokú szélsőérték feladatok szemléltetése
Table of Contents
- Szélsőérték-feladatok 1.
- Szélsőérték-feladatok 1.
- Szélsőérték-feladatok 2.
- Szélsőérték-feladatok 2.
- Szélsőérték-feladatok 3.
- Szélsőérték-feladatok 3.
- Szélsőérték-feladatok 4.
- Szélsőérték-feladatok 4.
Szélsőérték-feladatok 1.
Bevezető
Van 10 m cérnánk. Mekkora oldalú az a legnagyobb területű lepedő, melyet körbe tudunk varrni sima öltéssel? [br][br]Nekeresdország királya annak a kérőnek adja szépséges leányának kezét, aki 12 tenyérnyi hosszú fonallal a legnagyobb téglalap alakú területet tudja körbekeríteni. Mekkora oldalú téglalappal nyerheti el biztosan a királylány kezét az okos szegény legény? [br][br]20 m hosszú szalaggal az útburkolat javító munkások legfeljebb mekkora téglalap alakú területet tudnak lezárni a járókelők elől? Mekkorák a legnagyobb téglalap oldalai?
Egy feladat megoldásának menete
[list=1][*][i]K[/i] kerület beállítása a csúszkán; (az aktuális feladatnak megfelelően.)[br][*]A grafikonról leolvasható az annak megfelelő függvény maximuma és maximumhelye. [i]K[/i] csúszkáját megmozgatva törlődik a grafikon.[/list]
1. feladat
Mekkora lehet [math]a[/math] oldal hossza, ha ismerjük a téglalap [math]K[/math] kerületét?
2. feladat
Ha ismerjük egy téglalap kerületét és egyik oldalát, akkor hogyan határozható meg a másik oldala?
3. feladat
Milyen alakú a [i]T[/i] függvény képe?
4. feladat
Adott a [math]K[/math] kerület. Mi a [i]T[/i] függvény maximuma és maximumhelye? Hogyan határozható meg a maximum és a maximumhely a [math]K[/math] kerület segítségével?
5. feladat
Adott kerületű téglalapok közül melyiknek a területe maximális?
Szélsőérték-feladatok 2.
Bevezető feladat
Van 20 méternyi kerítésünk. Mekkora az a legnagyobb területű téglalap alakú tóparti telek, amelyet be tudunk keríteni? (A kert tóparti oldalát nem kerítjük be.)
Interaktív alkalmazás
1. feladat
Milyen értékeket vehet fel az [math]a[/math] és [math]b[/math] oldal, ha ismerjük a [math]H[/math]-t, vagyis a kerítés hosszát? (Figyeljünk arra, hogy az interaktív alkalmazásban az [math]a[/math][i] [/i]és [math]b[/math] oldalak nem vesznek fel minden lehetséges elméleti értéket!)
2. feladat
Ha ismerjük a kerítés hosszát és a téglalap alakú terület egyik oldalát, akkor hogyan határozható meg a másik oldal hossza?
3. feladat
Ha a téglalap területét az [i]a[/i] oldalhosszának függvényében nézzük, akkor milyen alakú ennek a [math]T[/math] függvénynek a képe?
4. feladat
Adott a kerítés hossza [math](H)[/math]. Mi a [math]T[/math][i] [/i]függvény maximuma és maximumhelye?[br]Hogyan határozható meg a maximum és a maximumhely a kerítés hosszának[br]segítségével?
5. feladat
A maximális terület esetén hogyan viszonyul egymáshoz a téglalap két oldalának hossza?
6. feladat
Adott hosszúságú kerítések esetén melyik téglalap területe maximális?
Szélsőérték-feladatok 3.
Bevezető feladat
Adott egy derékszögű háromszög. Ebbe rajzolunk egy téglalapot úgy, hogy annak két oldala illeszkedik a háromszög két befogójára, egy csúcsa pedig illeszkedik a háromszög átfogójára. Vizsgáljuk az így keletkező lehetséges téglalapok területét!
Interaktív alkalmazás
1. feladat
Hogyan lehet kiszámolni a téglalap azon oldalát, amelyik párhuzamos a háromszög [math]a[/math] oldalával?
2. feladat
Ha a téglalap területét a [math]d[/math] oldal hosszának függvényében nézzük, akkor milyen alakú ennek a [math]T[/math] függvénynek a képe?
3. feladat
Hol van a maximális értéke a [math]T[/math] függvénynek?
4. feladat
Mennyi ez a maximális érték?
5. feladat
Hogyan viszonyul ez a maximális érték a derékszögű háromszög területéhez?
Kapcsolódó fizikai tevékenység
Egy A/4-es lapot vágj ketté az egyik átlója mentén! Az így nyert derékszögű háromszögbe rajzolj a feladatnak megfelelő téglalapokat! Válassz ki egy téglalapot![br]Ennek két oldala mentén hajtsd meg a lapot! A téglalapra ráhajtott két rész együttes területe milyen viszonyban áll a téglalap területével? (nagyobb, egyenlő, vagy kisebb)
Szélsőérték-feladatok 4.
Bevezető feladat
Egy templom építésénél 10 méternyi acélt szánnak egy templomablak keretének kialakításához. Az „egybefüggő” ablaküveg egy téglalapot és annak egyik oldalára „felülről” illeszkedő félkört tölt ki. Ezt a formát kell keretbe foglalni. Hogyan építsék meg a keretet, hogy az ablakon a lehető legtöbb fény jusson be?[br](Minél nagyobb a síkidom területe, annál több fény jut át az ablakon.)
Interaktív alkalmazás
1. feladat
A téglalap „vízszintes” oldalának hossza [math]a[/math][i],[/i] „függőleges”oldalának hossza[i] [math]b[/math][/i].[br]Mekkora a síkidomot határoló félkör sugara? [br]Mekkora a körív hossza?[br]Mekkora a félkör területe?[br] (Mindegyiket az [math]a[/math] oldallal kifejezve add meg!)
2. feladat
Milyen részekből tevődik össze a síkidom kerülete?
3. feladat
Mekkora lehet a síkidomban lévő téglalap oldalainak hossza?
4. feladat
Ha ismerjük a síkidomban lévő téglalap egyik oldalának hosszát és a síkidom kerületét [math](K)[/math], akkor hogyan határozható meg a síkidomban lévő téglalap másik oldalának hossza?
5. feladat
Milyen alakú a [math]T[/math] grafikonja?
6. feladat
Miért nem szimmetrikus a [i]T[/i] függvény képe?
7. feladat
Adott a [math]K[/math] kerület. Mi a [math]T[/math] függvény maximuma és maximumhelye?[br]Hogyan határozható meg a maximum és maximumhely a [math]K[/math] kerület segítségével?