Los puntos [color=#3c78d8][b]D[/b][/color], [color=#3c78d8][b]E[/b][/color] y [color=#3c78d8][b]F[/b][/color] están situados en cualquier parte de cada uno de los lados del triángulo [color=#0000ff][b]ABC[/b][/color] o de sus prolongaciones, pero no deben coincidir con los vértices.[br][br]Cada [color=#ff0000][b]circunferencia[/b][/color] pasa por un vértice y por los dos puntos que están en los lados que concurren en él. Aparentemente las tres pasan por un mismo punto [color=#ff0000][b]P[/b][/color]. ¿Puedes justificarlo?

Este es el teorema de Miquel: "[i]Dados tres puntos uno en cada lado de un triángulo, o en sus prolongaciones, las tres circunferencias que pasan por un vértice del triángulo y los dos puntos en los lados adyacentes, concurren en un punto[/i]".[br][br]El punto [color=#ff0000][b]P[/b][/color] se conoce como punto de Miquel. Si las cevianas AD, BE y CF concurren en un punto P', se dice que [color=#ff0000][b]P[/b][/color] es el punto de Miquel asociado a P'.[br][br]Si [color=#3c78d8][b]D[/b][/color], [color=#3c78d8][b]E[/b][/color] y [color=#3c78d8][b]F[/b][/color] están alineados, uno o los tres deben estar en ese caso en las prolongaciones de los lados, el punto de Miquel está en la circunferencia circunscrita al [color=#0000ff][b]△ABC[/b][/color].[br][br]En ocasiones, el punto de Miquel [color=#ff0000][b]P[/b][/color] puede quedar fuera del triángulo. Por ejemplo, si llevas el punto [color=#3c78d8][b]F[/b][/color] muy cerca de [color=#0000ff][b]B[/b][/color].[br]¿Como justificas ahora los distintos pasos?[br][br]Marca la casilla de verificación [[color=#ff00ff][b]Triángulo de Centros[/b][/color]] para mostrar el [color=#ff00ff][b]△LMN[/b][/color] formado por los centros de las tres circunferencias. ¿Cómo es el [color=#ff00ff][b]△LMN[/b][/color] comparado con el [color=#0000ff][b]△ABC[/b][/color]? ¿Puedes justificarlo? Marca la casilla [[color=#38761d][b]Ángulos de los triángulos[/b][/color]] para ayudarte.