[right][i][size=50]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][b]GeoGebra-Books[/b][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size][/i][u][i][b][br][/b][/i][/u][size=85][/size][/right][size=85][right][i][b][color=#cc0000]Nachtrag [/color]([color=#ff7700]28.04.2021[/color]) [color=#cc0000]und Vereinfachung der Formeln siehe unten[/color][/b][/i] [math]\Downarrow\Downarrow\Downarrow\Downarrow\Downarrow\Downarrow[/math][/right][/size][u][i][b][br]Die Gleichung[/b][/i][/u] der oben angezeigten 2-teiligen bizirkularen Quartik lautet:[br][list][*][math]\left(z\bar{z}\right)^2-\left(\mathbf{Re}\left(z\right)\right)^2\cdot\left(s^2+\frac{1}{s^2}\right)+\left(\mathbf{Im}(z)\right)^2\cdot\frac{\left(f^4+1\right)\cdot\left(s^4+1\right)-4\cdot f^2\cdot s^2}{\left(s^4+1\right)\cdot f^2-\left(f^4+1\right)\cdot s^2}+1=0[/math], für [math]z=x+i\cdot y\in\mathbb{C}[/math], also[br](*) [math]\left(x^2+y^2\right)^2-x^2\cdot\left(s^2+\frac{1}{s^2}\right)+y^2\cdot\frac{\left(f^4+1\right)\cdot\left(s^4+1\right)-4\cdot f^2\cdot s^2}{\left(s^4+1\right)\cdot f^2-\left(f^4+1\right)\cdot s^2}+1=0[/math][br]oder [math]\left(x^2+y^2\right)^2-x^2\cdot\kappa\left(s\right)-y^2\cdot\frac{\kappa\left(f\right)\cdot\kappa\left(s\right)-4}{\kappa\left(f\right)-\kappa\left(s\right)}+1=0[/math], wobei [math]\kappa\left(r\right):=r^2+\frac{1}{r^2}\mbox{ für } r\in \mathbb{R} [/math] invariant [br]unter Spiegelungen an der y-Achse und am Einheitskreis ist. [br][/*][/list]Wir notieren noch die [i][b]Gleichung des Leitkreises[/b][/i] für den Brennpunkt [math](f,0)[/math] für [math]1\,<\, f\,<\, s[/math]: [list][*][math]x^2-\frac{x}{f}\cdot\left(s^2+\frac{1}{s^2}\right)+y^2 +\frac{1}{f^2}=0[/math]. [/*][/list][size=85]Die[color=#0000ff][i][b] Parameterdarstellung[/b][/i][/color][/size] [size=85]dieser Kurven wird auf den Seiten [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/f95nys8v]Parameterdarstellung 1 / 2[/url] entwickelt.[br][/size][br][i][color=#980000][size=50]Bemerkungen zum Applet[/size][/color][/i][size=50][i]: [b]1.[/b] [/i]Bemerkenswerterweise konnte man auf diese implizite Kurve 4. Ordnung einen beweglichen Kurvenpunkt setzen! [br]Dieser Punkt "springt" während der Animation zwischen verschiedenen, vermutlich komplexen Überlagerungen hin- und her. [br]Er läßt sich aber auch per Maus ziehen! Damit kann man die mit-bewegten Kreise besser verfolgen.[br][i][b]2. [/b][/i]Die 4 Brennpunkte auf der [i]x[/i]-Achse können auf 3 verschiedene Weisen paarweise verbunden werden; [br]dazu gehören 3 verschiedene Spiegelungen an der [i]y[/i]-Achse, am Einheitskreis und die elliptische Spiegelung [math]z\mapsto-1/\bar{z}[/math]. [br]Entsprechend gibt es dazu andere Brennkreise, andere doppelt-berührende Kreise und andere Leitkreise. [br]Um das vorliegende Applet nicht zu überlasten, werden wir diese Eigenschaften im [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/Ng4wBKdm]nächsten Applet[/url] zeigen.[/size][br]Die Quartik ist eine der [i][b]konfokalen bizirkularen Quartiken[/b][/i] mit den Brennpunkten [math]f,-f,\frac{1}{f},-\frac{1}{f}[/math].[br]In der konfokalen Schar liegen zwei [b]CASSINI[/b]-Quartiken.[br] [br][size=85][u][i][b]Rechnerische Begründung[/b][/i][/u] mit[br][i][b]Hermitescher Wurzel[/b][/i] des zugehörigen quadratischen Vektorfeldes.[br]In Geradenkoordinaten (siehe oben das Hilfefenster "Euklidisches KOS") gilt für die Verbindungsgeraden [br] [math]\mathbf\vec{g}_{12}(f)=\mathbf\vec{g}(f,-f)=\frac{-f}{2}\cdot\mathbf\vec{p}_\infty+\frac{1}{f}\cdot\mathbf\vec{p}_0[/math] und [math]\mathbf\vec{g}_{34}(f)=\mathbf\vec{g}\left(\frac{1}{f},\frac{-1}{f}\right)=\frac{-1}{2f}\cdot\mathbf\vec{p}_\infty+f\cdot\mathbf\vec{p}_0[/math].[br]Beiden Geraden können als elliptisches oder als hyperbolisches Kreisbüschel gewählt werden. [br]Die Kreise sind dann orthogonal zu einer der beiden Achsen; und die im folgenden zu berechnenden [br]selbstadjungierten Matrizen besitzen reelle Koeffizienten, was Voraussetzung für die Bildung[i][b] Hermitescher[/b][/i] Formen ist.[br]Die folgende symmetrische Bilinearform definiert eine bezüglich [math]\bullet[/math] selbstadjungierte Abbldung [math]\mathbf{S}_f[/math]:[br][list][*][math]\mathbf\vec{g}_{12}(f)\vee\mathbf\vec{g}_{34}(f)\left(\mathbf\vec{g},\mathbf\tilde\vec{g}\right)=\frac{1}{2}\cdot\left(\mathbf\vec{g}_{12}\bullet\mathbf\vec{g}\cdot\mathbf\vec{g}_{34}\bullet\mathbf\tilde\vec{g}+\mathbf\vec{g}_{12}\bullet\mathbf\tilde\vec{g}\cdot\mathbf\vec{g}_{34}\bullet\mathbf\vec{g}\right)=\left(\mathbf{S}_f\;\mathbf\vec{g}\right)\bullet\mathbf\tilde\vec{g}[/math][br][/*][/list] mit der Matrix [math]\mathbf{S}_f=\left(\begin{tabular} {ccc} f^2+\frac{1}{f^2} & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & f^2+\frac{1}{f^2} \end{tabular}\right)[/math]. Auf der Möbiusquadrik [math]\mathcal{Q}=\{\mathbf\vec{p}\in \mathcal{G}|\;\mathbf\vec{p}\bullet\mathbf\vec{p}=0\}[/math] ist durch [math]\mathbf{S}_f\,\mathbf\vec{p}\bullet \mathbf\vec{p}=1[/math] [br]ein [i][b]quadratisches Vektorfeld[/b][/i] gegeben, welches für alle [math]\mathbf{S}_f-\tau\cdot\mathbf{Id},\tau\in \mathbb{R}[/math] dasselbe ist. [br]Wir wählen aus dieser Schar diejenige selbstadjungierte Abbildung [math]\mathbf{S0}_f[/math], für die [math]\mathbf{Spur}\left(\mathbf{S0}_f\right)=0[/math] ist. [br]Wir berechnen das charakteristische Polynom von [math]\mathbf{S0}_f[/math]:[br][list][*][math]p_{char}(f,\lambda)=\mathbf{Det}\left(\lambda\cdot\mathbf{Id}-\mathbf{S0}_f\right)=\lambda^3+g_2(f)\cdot\lambda-g_3(f)[/math] mit reellen [math]g_2(f)[/math] und [math]g_3(f)[/math]. [size=50](Konkrete Werte s. u.!)[/size][/*][/list]Damit kann man die "Wurzeln" von [math]\mathbf{S0}_f[/math] erklären: [math]\mathbf{S0W}_f(\lambda):={\mathbf{S0}_f}\,^2+\lambda\cdot\mathbf{S0}_f+\frac{g_2(f)-\lambda^2}{2}\cdot\mathbf{Id}[/math].[br]Man rechnet nach: [math]\mathbf{S0W}_f(\lambda)^2=-p_{char}(f,\lambda)\cdot\mathbf{S0}_f+q(f,\lambda)\cdot\mathbf{Id}[/math] mit einer reellwertigen Funktion [math]q(f,\lambda)[/math] (s.u.).[br]Für eine mit [math]\mathbf{S}_f[/math], und damit auch mit [math]\mathbf{S0W}_f(\lambda)[/math] vertauschbare Spiegelung [math]\mathbf{K}[/math] in [math]\mathcal{G}[/math], d.h. eine involutorische [i][b]Hermitesche[/b][/i] [br]Abbildung, ist dann [math]\mathbf{H}_f(\lambda):=\mathbf{S0W}_f(\lambda)\circ\mathbf{K}[/math] eine [i][b]Hermitesche Wurzel[/b][/i] von [math]\mathbf{S}_f[/math]. [br]Mit [math]\mathbf{S}_f[/math] vertauschbare Spiegelungen sind die Spiegelung [math]\mathbf{K}_x[/math] an der [math]x[/math]-Achse, die Spiegelung [math]\mathbf{K}_y[/math] an der [math]y[/math]-Achse, [br]die Inversion [math]\mathbf{K}_E[/math] am Einheitskreis und die elliptische Spiegelung [math]\mathbf{K}_x\circ \mathbf{K}_y \circ \mathbf{K}_E[/math].[br]Die Spiegelung [math]\mathbf{K}_x[/math] an der [math]x[/math]-Achse ist schnell erklärt: [math]\mathbf{K}_x\left(a\cdot\mathbf\vec{p}_\infty+b\cdot \mathbf\vec{g}_0 +c\cdot \mathbf\vec{p}_0\right) =\bar{a}\cdot\mathbf\vec{p}_\infty+\bar{b}\cdot \mathbf\vec{g}_0 +\bar{c}\cdot \mathbf\vec{p}_0,\;a,b,c \in \mathbb{C}[/math], [br]insbesondere gilt im Geradenraum auf der Möbiusquadrik: [math]\mathbf{K}_x\,\mathbf\vec{p}(z)=\mathbf\vec{p}(\bar{z})[/math]. [br]Damit können wir die Lösungskurven des quadratischen Vektorfeldes berechnen:[br][math] \mathbf{H}_f(\lambda)\mathbf\vec{p}(z)\bullet\mathbf\vec{p}(z)=\kappa \left(f,\lambda\right)\cdot \left( \left(z\bar{z}\right)^2+\mathbf{Re}(z)^2\cdot\frac{f^8+3\cdot f^6 \cdot \lambda-10\cdot f^4+3\cdot f^2\cdot\lambda+1}{f^2\cdot\left(2\cdot f^4-3\cdot f^2\cdot \lambda+2 \right)}+\mathbf{Im}(z)^2\cdot\frac{f^4+3\cdot f^2\cdot\lambda+1}{3\cdot f^2}+1\right)=0[/math] [br]mit einem reellwertigem, von Null verschiedenem Faktor [math]\kappa (f,\lambda)[/math] . [br]Um die Scheitel [math]s[/math] auf der [math]x[/math]-Achse zu ermitteln, setzen wir [math]z=s+0\cdot i[/math] in die Gleichung ein und erhalten:[br][list][*][math]s^4+s^2\cdot\frac{3\cdot \lambda f^2\cdot \left( f^4+1\right) +f^8-10\cdot f^4+1}{f^2\cdot\left(2 f^4-3\cdot f^2\cdot\lambda+2\right)}+1=0[/math], aufgelöst nach [math]\lambda[/math]: [/*][/list][list][*][math]\lambda=\frac{2\cdot f^2\cdot\left(f^4+1\right)\cdot\left( s^4+1\right)+s^2\cdot\left(f^8-10\cdot f^4+1\right)}{3\cdot f^2\cdot\left(\left(s^4+1\right)\cdot f^2-\left(f^4+1\right)\cdot s^2\right)}[/math][br][/*][/list]Setzt man dieses von [math]s[/math] abhängige [math]\lambda[/math] in die [i][b]Hermitesche[/b][/i] Gleichung [math] \mathbf{H}_f(\lambda)\mathbf\vec{p}(z)\bullet\mathbf\vec{p}(z)=0[/math] ein, so erhält man [br]die oben angegebene Quartik-Gleichung (*).[br][br]Die [b]CASSINI-Quartiken[/b] besitzen die Gleichungen:[br][list][*][math]\mathbf{Cassini}_1\left(x,y,f\right)=\left((x^2+y^2\right)^2-2\cdot x^2\cdot f^2+2\cdot y^2\cdot f^2+1=0[/math][br] also [math]|z-f|^2\cdot|z+f|^2+1-f^4=|z^2-f^2|^2+1-f^4=0;\; f>1[/math][br][math]\mathbf{Cassini}_1[/math] entsteht aus dem Kreis [math]|w-f^2|^2-f^4+1=0[/math] unter der Wurzelfunktion [math]z=\sqrt{w}[/math]. [br]Der zugehörige Leitkreis [math] \left( x-f\right)^2+y^2+\frac{1}{f^2}=0[/math] besitzt den Mittelpunkt [math](f,0)[/math] und den Radius [math]\rho=\sqrt{f^2-\frac{1}{f^2}}[/math].[/*][br][*] [math]\mathbf{Cassini}_2\left(x,y,f\right)=\left((x^2+y^2\right)^2-2\cdot x^2\cdot\frac{f^2-f+1}{f}-2\cdot y^2\cdot\frac{f^2+f+1}{f} +1=0;\; f>1[/math] [/*][/list] Die Rechnungen wurden wieder mit der CAS-Software [i][b]DERIVE[/b][/i] durchgeführt (siehe die Bemerkungen zu [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/uyFeATfM]1-teiligen Quartiken[/url]).[br]Wir wollen noch auf die Gemeinsamkeiten der Gleichungen hinweisen; würden wir die Gleichungen der Kegelschnitte [br]als bizirkulare Quartiken hinzunehmen, ergäbe sich vielleicht ein übergeordnetes Bild der Gleichungen![br]Hier die noch fehlenden Funktionen:[br][math]g_2\left(f\right)=-\frac{f\,^8+2\cdot7\cdot f\,^4+1}{3\cdot f\,^4}\mbox{, } g_3\left(f\right)=-\frac{2\cdot \left(f\,^4+1\right)\cdot\left(f\,^8-2\cdot 17\cdot f\,^4+1\right)}{27\cdot f\,^6}\mbox{ und } q\left(f,\lambda\right)=2\cdot\lambda\cdot g_3(f)+\left(\frac{g_2(f)-\lambda^2}{2}\right)^2[/math].[/size][br][br]

[size=85] [math]\Rightarrow\Rightarrow\Rightarrow\Rightarrow\Rightarrow\Rightarrow\Rightarrow\Rightarrow[/math] [color=#cc0000][u][i][b]Nachtrag und Vereinfachung der Formeln:[/b][/i][/u][/color][br][br]Eine 2-teilige [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartik[/b][/i][/color] besitzt in [i][b]Normalform[/b][/i] eine implizite Gleichung des Typs:[br][/size][list][*][size=85][math]\left(x^2+y^2\right)^2-2\cdot A_x\cdot x^2-2\cdot B_y\cdot y^2+1=0[/math][/size] [size=85]mit Koeffizienten [math]A_{x,}B_y\in\mathbb{R}[/math][/size][/*][/list][size=85]Dieser Gleichung in [i][b]Normalform[/b][/i] liegen die [color=#e69138][i][b]Symmetrieen[/b][/i][/color] an den Koordinatenachsen und am Einheitskreis zugrunde.[br]Die [color=#ff7700][i][b]Schnittpunkte[/b][/i][/color] mit der [math]x[/math]-Achse erhält man mit [math]A_x:=\frac{1}{2}\cdot\left(s_x\;^2+\frac{1}{s_x\;^2}\right)[/math] berechnet aus [math]\pm s_x:=\pm\sqrt{A_x\pm\sqrt{A_x\;^2-1+0\cdot i}}[/math].[br]Entsprechend berechnet [math]s_y:=\pm i\cdot\sqrt{B_y\pm\sqrt{B_y\;^2-1+0\cdot i}}[/math] die [math]y[/math]-Achsenschnittpunkte; immer unter der Voraussetzung, [br]dass die [color=#ff7700][i][b]Schnittpunkte[/b][/i][/color] existieren.[br]Nützlich sind oft die [color=#ff7700][i][b]Schnittpunkte[/b][/i][/color] mit dem [color=#f1c232][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color]: [math]s_E:=\pm\sqrt{\frac{B_y-1}{B_y-A_x}}\pm i\cdot \sqrt{\frac{1-A_x}{B_y-A_x}}[/math], sofern sie existieren.[br][color=#00ff00][i][b][u]Brennpunkte:[/u][br][/b][/i][/color]Einzelne [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] sind stets enthalten in einer Schar von [color=#38761D][i][b]konfokalen[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color].[br]Mit [math]Q_{\left\{xy\right\}}:=\frac{1-A_x\cdot B_y}{A_{x-B_y}}[/math] erhält man das [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color]s-[i][b]Quatrupel[/b][/i] [math]f,-f,\frac{1}{f},\frac{-1}{f}:=\pm\sqrt{Q_{xy}\pm\sqrt{Q_{\left\{xy\right\}}\;^2-1+0\cdot i}}[/math];[br]diese [i][b]komplexe[/b][/i] Berechnung liefert die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] auch dann, wenn sie auf dem [color=#f1c232][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color] liegen![br][br][i][b][u][color=#cc0000]Koeffizienten der [color=#38761D]k[/color][/color][color=#38761D]onfokalen[/color] [color=#ff7700]Quartiken:[/color][/u][br][/b][/i]Da [i]per definitionem[/i] die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte [/b][/i][/color]und damit [math]Q_{xy}[/math] dieselben sind, findet man die [color=#38761D][i][b]konfokalen[/b][/i][/color] [i][b][color=#ff7700]Quartiken[/color][/b][/i] [br]durch die Vorgabe des [color=#ff7700][i][b]Scheitels[/b][/i][/color] [math]sC_x[/math] auf der [math]x[/math]-Achse, bzw. des [color=#ff7700][i][b]Scheitels[/b][/i][/color] [math]sC_y[/math] auf der [math]y[/math]-Achse: [math]x\;\leftrightarrow\; y[/math][br][/size][list][*][size=85] [math]AC_x:=\frac{1}{2}\cdot\left(sC_x\;^2+\frac{1}{sC_x\;^2}\right)[/math] und [math]BC_y:=\frac{1-AC_x\cdot Q_{xy}}{AC_x-Q_{xy}}[/math].[/size][/*][/list]