Im vorigen Kapitel haben wir die folgende Strategie anschaulich erarbeitet:[br][list=1][*]Suche nach Stellen mit waagrechter Tangente[/*][*]Für jeden Kandidaten anhand der Steigung in seiner Umgebung entscheiden, ob es ein Hoch-, ein Tief- oder ein Sattelpunkt ist.[/*][/list]Jetzt setzten wir diese Strategie rechnerisch um.

Für Stellen x mit waagerechter Tangente gilt, dass dort die Ableitung der Funktion Null ist, denn Ableitung bedeutet ja Steigung der Tangenten an dieser Stelle. Das heißt, dass wir diese Stellen finden, indem wir die Ableitung Null setzen: [math]f'\left(x\right)=0[/math]. Wenn wir diese Gleichung nach x auflösen, bekommen wir alle Kandidaten für Hoch-, Tief und Sattelpunkte.[br][br][b]Beispiel:[br][/b]Wir untersuchen die folgende Funktion auf Extrempunkte: [math]f\left(x\right)=\frac{1}{4}x^4-\frac{2}{3}x^3[/math].[br]Die Ableitung lautet [math]f'\left(x\right)=x^3-2x^2[/math].[br]Ansatz: [math]x^3-2x^2=0[/math][br]Ausklammern von [math]x^2[/math] liefert: [math]x^2\cdot\left(x-2\right)=0[/math]. [br]Diese Gleichung hat die beiden Lösungen [math]x_1=0[/math] und [math]x_2=2[/math]. An diesen beiden Stellen gibt es also eine waagrechte Tangente. Das sind also die Kandidaten für Extremstellen.

Wir wollten (vgl. letztes Kapitel) bei jedem Kandidaten schauen, wie sich die Steigung beim Überschreiten ändert:[br][list][*]bergauf [math]\longrightarrow[/math] bergab: Hochpunkt[/*][*]bergab [math]\longrightarrow[/math] bergauf: Tiefpunkt[/*][*]vorher und nachher gleich: Sattelpunkt[/*][/list][br]Deshalb nehmen wir die Ableitung her (die ja die Steigung liefert) und setzen bei jedem Kandidaten einen x-Wert etwas links und einen etwas rechts neben dem Kandidaten ein. Da stellt sich die Frage, wie weit man mit diesen beiden Test-Stellen vom Kandidaten weggehen darf. Die Antwort ist nicht schwer: Natürlich darf man nicht den nächsten Kandidaten überschreiten.[br][br]Wir nehmen z. B. -1 und 1 um den Kandidaten [math]x_1=0[/math] zu überprüfen und die Werte 1 und 3 für den Kandidaten [math]x_2=2[/math]:[br][br][math]f'\left(-1\right)=-3<0[/math][br][math]f'\left(1\right)=-1<0[/math][br][math]f'\left(3\right)=9>0[/math][br][br]Das heißt für den Kandidaten [math]x_1=0[/math], dass dort ein Sattelpunkt ist, weil es vorher und danach bergab geht.[br]Beim Kandidaten [math]x_2=2[/math] dagegen liegt ein Tiefpunkt vor, da sich die Steigung von negativ zu positiv ändert.[br][br]Bisher haben wir uns nur um die x-Koordinaten dieser Punkte gekümmert. Wenn wir die Funktion skizzieren wollen, sollten wir natürlich auch noch die y-Werte kennen. Wir berechnen sie durch einsetzen der x-Werte in die Funktionsgleichung: [math]f\left(0\right)=0[/math] und [math]f\left(2\right)=-\frac{4}{3}[/math].[br]Wenn man gerechnet hat, schadet es nichts, sich mit GeoGebra oder dem Grafikrechner ein Bild zur Kontrolle zu machen: