Hier kannst du an einem einfachen Beispiel schon mal sehen, worum es in der Differenzialrechnung geht.[br][br][b]Problem:[br][/b]Ein Zug fährt an (dabei wird er immer schneller) und es soll berechnet werden, welche Geschwindigkeit er nach 20 m erreicht hat.[br][br]Hier siehst du das Weg-Zeit-Diagramm zu dieser Situation, das wegen der zunehmenden Geschwindigkeit nun keine Gerade mehr ist:[br]

[b]Erster Ansatz:[/b][br]Wir messen die Zeit, die der Zug für die 20 m benötigt. Das sind 8 s, wie du im Diagramm oben ablesen kannst. Dann rechnen wir: [math]v=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{20m}{8s}=2,5\frac{m}{s}[/math].[br]So haben wir aber nur eine Durchschnittsgeschwindigkeit bestimmt und nicht die momentane Geschwindigkeit am Ende der 20 m. Die müsste größer sein, denn der Zug wird ja die ganze Zeit über schneller. Dieser Ansatz war also nicht wirklich geeignet.[br][br][b]Verbesserter Ansatz:[br][/b]Das Steigungsdreieck zwischen den Punkten A und B hat uns die Durchschnittsgeschwindigkeit für den gesamten Zeitraum geliefert. Wenn wir einfach nur ein kleines Steigungsdreieck möglichst nahe bei B machen, dann bekommen wir einen besseren Wert. [br]Das kannst du machen, indem du den Punkt A weiter nach rechts ziehst. Klicke auf das Kontrollkästchen um die Geschwindigkeit automatisch berechnen zu lassen. [br]Je näher der Punkt A zum Punkt B wandert, desto genauer entspricht der berechnete Wert der tatsächlichen Momentangeschwindigkeit nach 20 Metern. Müssen wir einfach nur A auf B schieben und haben dann die gesuchte Geschwindigkeit? Versuch's mal!

[b]Idee:[br][/b]Wenn wir mit Punkt A "unendlich nahe" an Punkt B gehen (aber eben nicht ganz da hin), dann bekommen wir die gesuchte Momentangeschwindigkeit. Vielleicht kannst du sie schon erahnen, wenn du A gaaaaanz knapp vor B schiebst...[br][br]Da dieses "unendlich nahe herangehen" nicht so leicht fassbar ist, lösen wir uns nun von unserem Einstiegsbeispiel und entwickeln mathematisch einwandfreie Werkzeuge, um einen solchen Annäherungsvorgang exakt in den Griff zu bekommen.