Introducción al Álgebra lineal
Table of Contents
- Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales
- Introducción
- Sistema de dos por dos
- Sistemas de tres por tres.
- Matrices
- Submatrices y propiedades
- Reducción por renglones
- Sistema de ecuaciones homogéneos.
- Matrices
- MATRICES
- Operaciones entre matrices
- Determinantes
- Determinante
- Propiedades de los determinantes
- Regla de Cramer
Introducción
Una recta en el plano xy puede representarse algebraicamente por una ecuación de la forma:[br][math]ax+by=c[/math][br][br]A manera de repaso, se darán algunos hechos fundamentales sobre las líneas rectas:[br]1. La pendiente m de una recta que pasa por los puntos ([math]x_1,y_1[/math]) y ([math]x_2,y_2[/math]) esta definida por: [br] [math]m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}[/math][br]2. Si [math]x2=x1[/math] y [math]y2\ne y1[/math]y , entonces la recta es vertical y se dice que la pendiente es indefinida.[br]3. Cualquier recta (excepto con pendiente indefinida) se puede describir su ecuación en la forma pendiente-ordenada [math]y=mx+b[/math], donde [math]m[/math] es la pendiente y [math]b[/math] es la ordenada al origen.[br]4. Dos rectas son paralelas si y sólo si tienen las mismas pendientes [math]m_1=m_2[/math][br]5. Si la ecuación de la recta se escribe en la forma [math]ax+by=c[/math] ([math]b\ne0[/math]), entonces, [math]m=-a/b[/math].[br]6. Si [math]m_1[/math] es la pendiente de la recta [math]L_1[/math], [math]m_2[/math]es la pendiente de la recta [math]L_2[/math], [math]m_1\ne0[/math], [math]L_1[/math] y [math]L_2[/math] son perpendiculares, entonces [math]m_2=-\frac{1}{m_1}[/math][br]7. Las rectas paralelas al eje x tienen pendiente cero.[br]8. Las rectas paralelas al eje y tienen pendiente indefinida.[br]9. La ecuación de una recta que pasa por el punto ([math]x_1,y_1[/math]) y tiene pendiente [math]m[/math] es:[br][math]y-y_1=m\left(x-x_1\right)[/math][br]
Ecuación de la recta y=mx+b
Pendiente de la recta en la forma ax+by=c
MATRICES
Sistemas de dos por dos
[justify][br]Una matriz es un arreglo rectangular de números. A los números en el arreglo se les llama elementos de la matriz ( ó componentes de la matriz).Una matriz se representa normalmente entre paréntesis o corchetes y se denota generalmente por letras mayúsculas.Las líneas horizontales, denominadas filas, se numeran de arriba a abajo; las líneas verticales, o columnas, se numeran de izquierda a derecha.[/justify][justify][/justify]
TAMAÑO [br][br][justify]El tamaño de una matriz está determinado por el número de filas y de columnas, así que una matriz de tamaño [math]m[/math] x [math]n[/math] consiste en[math]m[/math] filas y [math]n[/math] columnas.[br][br] [br][br]IGUALDAD DE MATRICES[br][br]Dos matrices [math]A=(a_{ij})[/math] y [math]B=(b_{ij})[/math] son iguales solo sí las dos matrices son del mismo tamaño y sus elementos correspondientes son iguales.[br][br]Por ejemplo:[/justify]
Determinante
[justify][/justify][justify]El determinante de una matriz cuadrada es un número que se le asigna a la matriz, y que nos sirve para averiguar cuando una matriz tiene inversa, también nos proporciona un método alternativo para calcular la matriz inversa y bajo ciertas condiciones, nos proporciona de otro método para resolver algunos sistemas cuadrados de ecuaciones lineales (Regla de Cramer).[/justify][justify][/justify][br]
[size=85][size=100][justify]Una matriz cuadrada tiene inversa si y solamente si su determinante es diferente de cero. Así pues, antes de calcular la inversa, podemos verificar si ésta existe, [size=85][size=100]calculando el determinante verificando que sea distinto de cero.[/size][/size][size=85][size=100][br][/size][/size][/justify][/size][/size]Por ejemplo:
Dada una matriz cuadrada [math]A[/math], la matriz de menores se define como aquella matriz [math]M_{ij}[/math] que en el lugar [math](i,j)[/math] contiene al determinante de la submatriz de [math]A[/math] que resulta de eliminar el [math]i[/math]-ésimo renglón, y la [math]j[/math]-ésima columna.[br][br][br]El cofactor está dador por:[br][br][center][math]C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}[/math][/center]
[br]La matriz adjunta de una matriz dada simplemente se define como la matriz transpuesta de la matriz de cofactores.