Precálculo
Precálculo
Table of Contents
- Funciones
- Explorando funciones racionales
- Explorando funciones polinómicas
- Funciones exponenciales
- Función Exponencial y su inversa la función logaritmo
- Razón de cambio: crecimiento y concavidad de las funciones
- Función cuadrática con interceptos con el eje x
- Funciones cuadráticas ax^2 +bx+c.
- Razón de cambio de las funciones cuadráticas
- Optimización
- Rectángulo inscrito en círculo - Optimización
- Rectángulo bajo una parábola -Optimización
- Rectángulo inscrito en una elipse con centro (0,0) - Optimización
- Alambre para construir triángulo equilátero y círculo -Optimización
- Minimizar tiempo-Example5 (MasterMathMentor.com) Optimización Schwartz)
- Maximizar el área de un rectángulo inscrito en un círculo-Example 6 (MasterMathMentor.com- Stu Schwartz)
- Minimizar el área de superficie de un cilindro-Example7 (MasterMathMentor.com- Stu Schwartz)
- Cónicas
- Parábola como lugar geométrico
- Parábola: Definición geométrica
- Parábola Trasladada (Elementos y ecuación)
- Elipse como lugar geométrico
- Elipse con centro (0,0): definición geométrica
- Elipse con centro (0,0), eje mayor sobre el eje X
- Elipses trasladadas
- Excentricidad de la elipse
- Hipérbola como lugar geométrico
- Hipérbola con centro (0,0)-Definición
- Hipérbola con centro (0,0), eje transversal sobre el eje Y
- Hipérbola con centro (0,0), eje transversal sobre el eje X
- Hipérbola trasladada (elementos y ecuación)
- Excentricidad de la hipérbola
- Cónicas- Ecuación General
- Cónicas- Discriminante de la Ecuación General de segundo grado
- Matrices
- Matrices asociadas a transformaciones lineales
- Solución de un sistema de ecuaciones 2x2
- Coordenadas Polares
- Números Complejos
- Familias de Curvas en Coordenadas Polares: r=kcos@; r=cos(k@); r=m+kcos@
- Familia de Curvas en Coordenadas Polares: r=ksen@; r=sen(k@); r=m+ksen@
Explorando funciones racionales
[size=100][size=150][color=#0000ff][b]En esta actividad podrás explorar el comportamiento y las características de una familia de funciones racionales [math]R\left(x\right)=\frac{ax^m-h}{bx^n-k}[/math]. [br]Usando los deslizadores cambia los valores de los exponentes m y n, de los coeficientes a y b, y de los terminos h y k[/b][/color][/size][/size]
[b][size=150][color=#0000ff]1. Usando los deslizadores, representa la función [i]f[/i] para hallar su dominio, interceptos con los ejes y asíntotas[/color][/size][size=150][b][b][color=#0000ff][br][math]f\left(x\right)=\frac{^{x^2-4}}{x^2-25}[/math][/color][/b][br][/b][/size][b]Dominio:[/b][br][/b] [br]
[b][b]Interceptos con los ejes X y Y: [br][/b][/b][br]
[b][b]Ecuacion(es) de la (s) asíntota(s):[br][/b][/b][br]
[b][color=#0000ff][size=150]2. Usando los deslizadores, representa la función [i]g[/i] para hallar su dominio, interceptos con los ejes y asíntotas[/size][/color][br][/b][math]g\left(x\right)=\frac{^{x^2-9}}{4x-1}[/math][br][b]Dominio:[/b]
[b]Interceptos con los ejes X y Y: [/b]
[b][b]Ecuacion(es) de la (s) asíntota(s):[br][/b][/b][br]
[b][size=150][color=#0000ff]3. Usando los deslizadores, representa la función [/color][i][color=#0000ff]h[/color][/i][color=#0000ff] para hallar su dominio, interceptos con los ejes y asíntotas[/color][/size][math]h\left(x\right)=\frac{x-2}{x^2-16}[/math][br]Dominio:[br][/b]
[b]Interceptos con los ejes X y Y:[br][/b]
[b]Ecuacion(es) de la(s) asíntota(s):[br][/b]
[b][size=150][color=#0000ff]4. Usando los deslizadores, representa la función [/color][i][color=#0000ff]i[/color][/i][color=#0000ff] para hallar su dominio, interceptos con los ejes y asíntotas[/color][/size][color=#0000ff][br][math]i\left(x\right)=\frac{^{x^3-14}}{6x-12}[/math][br][/color][br]Dominio:[/b]
[b]Interceptos con los ejes X y Y:[/b]
[b]Ecuacion(es) de la(s) asíntota(s):[br][/b]
[b][size=150][color=#0000ff]5. Usando los deslizadores, representa la función [/color][i][color=#0000ff]j [/color][/i][b][color=#0000ff]para hallar su dominio, interceptos con los ejes y asíntotas y para identificar [b]¿Qué está sobrando y q[b][b][color=#0000ff]ué falta [/color][/b][/b]en la gráfica? [/b][/color][/b][/size][math]j\left(x\right)=\frac{x-3}{^{x^2-9}}[/math][br]Dominio:[/b]
[b]Interceptos con los ejes X y Y:[br][/b]
[b]Ecuacion(es) de la(s) asíntota(s):[br][/b]
[b][b]¿Qué está sobrando y q[b][b]ué falta [/b][/b]en la gráfica? [/b][/b][br]
[color=#0000ff][size=150][b]6. Propón una función cuyas asíntotas son: [/b][b]x=2, x=-2, y=0[/b][/size][/color]
[color=#0000ff][b][size=150]7. Propón una función cuyas asíntotas son: [/size][/b][b]x=-3, x=3, y=2[/b][/color]
[color=#0000ff][b][size=150]8. Propón una función que tenga asíntota diagonal[/size][/b][/color]
[color=#0000ff][b][size=150]9. Establece para las funciones [math]R\left(x\right)=\frac{ax^m-h}{bx^n-k}[/math] una conjetura, que establezca una relación entre el valor m, el valor n y el tipo de asíntota que tiene la función R[/size][/b][/color]
Rational Functions
Rectángulo inscrito en círculo - Optimización
[b][size=150][color=#0000ff]En este applet, se muestra un círculo con centro M y radio r, y un rectángulo ABCD inscrito en él.[br]Con el deslizador puedes cambiár la magnitud del radio y arrastrar los vértices A y D del rectángulo.[/color][/size][/b]
[size=150][b][color=#0000ff]PROBLEMA: Encontrar las dimensiones del rectángulo con mayor área que puede ser inscrito en un círculo con radio 4. [/color][br]Para solucionar, sigue los pasos dados a continuación y resuelve las preguntas:[/b][/size]
[b][size=150]1. Asigna la variable x a la base del rectángulo y la variable y a la altura del rectángulo [/size][/b]
[b][size=150]2. Expresa y en términos de x, teniendo en cuenta que los segmentos con dichas longitudes, forman un triángulo rectángulo con la diagonal del círculo.[/size][/b]
[size=150][b]3. Escribe el área del rectángulo, como una función A(x)[/b][/size]
[b]4. Ingresa en GeoGebra esta función A(x) y usa la herramienta Extremos o Maximo( , , ). Escribe el área máxima[/b]
[b][size=150]5. Escribe las dimensiones del rectángulo con mayor área[/size][/b]
Optimización con derivación
Parábola como lugar geométrico
[b][size=150][color=#0000ff]Construcción de la parábola, como lugar geométrico, a partir de una recta d y un punto F, que no pertenece a la recta d.[/color][/size][/b]
[b][size=150]Una parábola es el conjunto de puntos que equidistan de una recta d llamada directriz y un punto F llamado foco.[br][br]A continuación se describe cóm o construir la parábola.[br]1. Construir una recta d (directriz) y un punto F fuera de ella. [br][br]2. Construir la recta perpendicular a la directriz que pasa por F[br][br]3. [i]Label[/i] M el punto de intersección de las dos rectas[br][br]4. Construir el segmento MF [br][br]5. Contruir un punto C sobre la recta que contiene al punto F.[br][br]7. Trazar la recta paralela a la directriz que pasa por C[br][br] 9. Trazar una circunferencia con centro F y radio la longitud del segmento BM[br] [br]10. Construir los puntos de intersección P y P´, de la recta que contiene al punto C y la circunferencia.[br][br]11. Activar [i]rastro [/i] para que el punto P dejar la traza al mover C sobre la recta MC.[br][br]12. Activar [i]rastro [/i] para que el punto P' dejar la traza al mover C sobre la recta MC. [br][br]13. Mover el punto C sobre la recta.[br][br]14. Construir el lugar geométrico descrito por la traza de P. [br][br]15. Construir el lugar geométrico descrito por la traza de P´. [br]16. Ocultar todas las líneas. [/size][/b]
Matrices asociadas a transformaciones lineales
[size=150][color=#0000ff][b]En esta hoja dinámica se muestra cómo una transformación lineal es asociada a una matriz y cómo esta asociación permite construir imágenes de partes del plano usando GeoGebra.[/b][/color][/size]
[size=150][b]Para hallar la imágen del cuadrilátero ABCD, bajo la transformación lineal [i]f , [/i]es posible cambiar los valores de a, b, c y d.[br]Los valores de a,b,c y d, pueden ser introducidos en las cajas de entrada, o pueden variarse usando los deslizadores. (a,b,c y d pueden tomar valores enteros de -10 a 10)[/b][/size]
Números Complejos
[size=150][color=#0000ff][b][size=200]Números Complejos[br][/size][/b][/color][/size][size=150][b]Los números complejos, son los números de la forma a+bi[br][math]a,b\in\mathbb{R},[/math] [math]i=\sqrt{-1}[/math][br][/b][/size][size=150][b]i: unidad de los números imaginarios [/b][/size]
[b][size=200][color=#0000ff]En el siguiente applet se representan [/color][color=#ff0000]los números complejos en forma estándar (forma rectangular).[/color][color=#0000ff] [br]En el eje x, se representa la parte real del número complejo (a) y en el eje y la parte imaginaria (b). [/color][/size][/b]
Arrastrando los puntos z_1 y z_2, los cuales representan números complejos y seleccionando las casillas puedes visualizar la suma y la resta
[b][size=150][color=#0000ff]Suma de números complejos [/color][/size][/b][br][size=150][b]Dados z[sub]1[/sub] =a+bi y z[sub]2[/sub] =c+di, z[sub]1[/sub] +z[sub]2[/sub] =(a+c)+(b+d)i[/b][/size]
[size=150][b]Si z[sub]1[/sub] =5+3i y z[sub]2[/sub] =-2+4i, entonces z[sub]1[/sub] + z[sub]2[/sub] =[/b][/size]
[size=150][b]Si z[sub]1[/sub] =5+3i y z[sub]2[/sub] =-2+4i, entonces z[sub]1[/sub] - z[sub]2[/sub] =[/b][/size]
[size=150][b]Si z[sub]1[/sub] =8-2i y [b] z[sub]1[/sub] - z[sub]2[/sub] =10+10i [/b]entonces z[sub]2[/sub] =[/b][/size]
[size=150][b]Verdadero o Falso:[br][/b][/size]Todo número real es complejo
[b][size=150][color=#0000ff]Si z[sub]1[/sub] =bi, con b diferente de 0, [b]z[sub]1[/sub] es un imaginario puro[/b][/color][b][sub][b][color=#0000ff] [/color][/b][/sub][/b][/size][b][sub][b][color=#0000ff][/color][br][b][size=150]Verdadero o Falso:[br][/size][/b][/b][/sub][/b][/b]La suma de dos imaginarios puros es un número real
[size=150][size=50][b][size=200][color=#0000ff]En el siguiente applet se presenta el [/color][color=#ff0000]sistema de coordenadas polares.[/color][color=#0000ff] Este sistema se establece a partir de un punto O (polo) y una semirecta (eje polar).[/color][/size][color=#0000ff][size=200]Cada punto en este sistema está designado por las coordenadas P(r,θ)[/size][/color][br][size=200][color=#0000ff]Si r es positivo, r es la distancia de O a P y θ es el ángulo formado por el eje polar y el segmento con extremos O y P.[br]Si r es negativo, -r es la distancia de O a P y P está en el rayo opuesto al determinado por el ángulo θ[/color][/size][/b][/size][/size]
En el siguiente applet puedes arrastrar el punto P
[b][size=150]Verdadero o Falso[br]En el sistema de coordenadas polares, un punto puede ser representado por mas de una forma[/size][/b] [math]\left(r,\theta\right)[/math]
[b][size=150]Verdadero o Falso[br]En el sistema de coordenadas polares [math]\left(2,\pi\right)[/math] y [math]\left(-2,\pi\right)[/math] representan el mismo punto.[/size][/b]
[b][size=150]Verdadero o Falso[br]En el sistema de coordenadas polares [math]\left(2,\theta+\pi\right)[/math] y [math]\left(-2,\pi\right)[/math] representan el mismo punto.[/size][/b]
[b][size=150]Verdadero o Falso[br]Para cambiar de coordenadas polares el punto [math]P:\left(r,\theta\right)[/math] a coordenadas rectangulares (x,y), se usa la fórmula: [math]x=rcos\theta[/math] y [math]y=rsen\theta[/math][/size][/b]
[size=150][size=100][size=200][b][color=#0000ff]En el siguiente applet se representan los números [/color][color=#ff0000]complejos en forma polar. [/color][/b][/size][size=200][b][color=#0000ff]z=r(cosθ+isenθ) en donde r es la distancia del origen a z y θ es el ángulo formado por el eje x y la recta que comprende al origen y a z.[/color][/b][/size][/size][/size]
En el siguiente applet puedes arrastrar el punto P
[b][size=150]Verdadero o Falso[br][/size][/b][size=100][size=150]En coordenadas polares z= 3i es[/size][/size] z=3(cos[math]\pi[/math] +isen[math]\pi[/math])