Az eddig megismert P-modell eszközök  lényegében az [url=https://www.geogebra.org/m/sfpM6ctj]euklideszi szerkesztés[/url] eszközei, valamint  az erre visszavezethető szerkesztések. Emiatt a P-modell kiváló lehetőséget nyújt arra is, hogy azokat az abszolút geometriai fogalmakat, összefüggéseket új megvilágításba helyezze, amelyek az általános és középiskolai geometriai ismeretek jelentős részét képezik. Ugyanis a modell alkalmazásával élesen elkülönülnek  a párhuzamossági axiómát megelőző, és az abból következő összefüggések.[br][br]Megjegyezzük, hogy a matematikai feladatok megfogalmazásában gyakran használt „mutassuk meg” szóhasználat a „bizonyítsuk be” szinonimája. Itt most ezt inkább a „szemléltessük” megfelelőjeként fogjuk használni.  [br][br]Adjunk meg a csúcsaival egy háromszöget! Szerkesszük meg az oldalait, majd rendre szemléltessük az alábbi összefüggéseket:[br][br][list][*][b][color=#9900ff][u]Ha[/u][/color][/b][color=#9900ff] egy háromszög valamely két oldalának a szakaszfelező merőlegesei metszik egymást, [b][u]akkor[/u][/b] erre a metszéspontra illeszkedik a harmadik oldal szakaszfelező merőlegese is. Ez a pont a háromszög köré írt körének a középpontja.[/color][br][/*][/list][br]Fontos felhívni olvasóink figyelmét a fenti állítás[u] feltételére.[/u][br] [br][list][*][color=#0000ff]Az euklideszi párhuzamossági axiómával igazolható, hogy egy háromszög [u]bármely[/u] két oldalának a szakaszfelező merőlegese metsző.[/color] [br][/*][/list][br][list][*][color=#ff0000]A hiperbolikus geometriában[/color] [u]van olyan[/u] háromszög, amelynek az oldalfelező merőlegesei nem metszik egymást.[br][/*][/list][br][url=https://www.geogebra.org/m/upseTGND]Erre később részletesebben ki fogunk térni[/url].[br][br]Mutassuk meg, hogy a fenti három állításhoz hasonlókat fogalmazhatunk meg a háromszög magasság egyeneseiről is![br][br]Szerkesszük meg a háromszög súlyvonalait![br][br](Ehhez fel kell vennünk az oldalak szakaszfelező merőlegeseit. Ezeknek és a háromszög oldalainak a metszéspontjai lesznek az oldalak felezőpontjai - épp úgy mint az euklideszi geometriában.) [br][br][list][*]Mutassuk meg, hogy: a[color=#9900ff] háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást![/color][br][/*][/list][br]Ha kicsit alaposabban belegondolunk, meglepő, hogy ez egy [color=#9900ff]abszolút geometriai állítás[/color], mivel  ezt[br]az euklideszi geometriából jól ismert összefüggést az iskolában a hasonlóság, közvetve az euklideszi párhuzamossági axióma felhasználásával igazoltuk. Az abszolút geometria eszköztárával bizonyára jóval nehezebb lenne az állítás igazolása.[br][br]Vizsgáljuk meg, hogy a P-modellen teljesül-e, hogy a súlypont 2:1 arányban osztja a súlyvonalakat![br][br](Például legyen a háromszög egyik csúcsa [i]A[/i], súlypontja[i] S[/i]. Szerkesszük meg az [i]SA[/i] szakasz felező merőlegesét, és nézzük meg, hogy ez az egyenes érinti-e azt az [i]S[/i] középpontú kört, amely illeszkedik az[br][i]A[/i]-val szemközti [i]a[/i] oldal [i]F[sub]a[/sub][/i] felezőpontjára!) Megállapíthatjuk, hogy:[br]      [br][list][*][color=#ff0000]A hiperbolikus geometriában általában nem teljesül, hogy a súlypont harmadolja a súlyvonalakat. Bár előfordulhat, hogy van olyan súlyvonal, amelyet harmadol a súlypont.[br][/color][/*][/list][br][list][*][color=#9900ff]Mutassuk meg, hogy a H-háromszög belső szögfelezői egy pontra illeszkednek. Ez a pont a háromszög beírt körének a középpontja! [/color][br][/*][/list][br]A H-háromszög bármely szögfelezője valójában a háromszög két oldalegyenesének a tükörtengelye. Ezért ezek az egyenesek akkor is léteznek, ha a háromszög egy – vagy akár mindhárom – csúcsa a P-modell alapkörére esik, vagyis a háromszög ún. [i][color=#ff0000]aszimptotikus háromszög[/color][/i]gé fajul. Mutassuk meg, hogy [color=#ff0000]az aszimptotikus háromszögeknek is van beírt körük, magasságegyenesük is.[/color] Mi a feltétele annak hogy egy aszimptotikus háromszögnek legyen magasságpontja, és az essen egybe a beírt kör középpontjával?

A fenti demonstráción módosítottunk egy keveset.[br][br]A háromszög csúcsait ezúttal nem a P-modell alapköréhez, hanem a képernyőhöz rögzítettük. Így ha az alapkört mozgatjuk,vagy pl. zoomolással növeljük a képernyőhöz mért sugarát, akkor ezzel megváltoztattuk a háromszög csúcsainak a P-modellben elfoglalt helyét. Így tulajdonképpen a P-modell egy másik háromszögét állítottuk elő.[br][br]Figyeljük meg, hogy ha a P-modell sugarát növeljük a képernyőhöz képest, a kapott háromszög nevezetes vonalai (amelyekről [u]tudjuk[/u], hogy többnyire körívek) egyre jobban megközelítik az euklideszi geometriából jól ismert ábráinkat. Mi lenne, ha a P-modell alapkörét a képernyőnkhöz képest igen nagyra választanánk?[br][br]Azt, hogy az euklideszi geometria a hiperbolikus geometria határesete, [url=https://www.geogebra.org/m/NSQ9meGe#material/kFPMXTSR]itt már említettük[/url]. Később majd [url=https://www.geogebra.org/m/NSQ9meGe#material/vff5PENp]itt is[/url] tapasztalni fogjuk ugyanezt