El lugar geométrico de los vértices de los conos que pasan por una parábola dada, es otra parábola que tiene foco y vértice intercambiados, y situada en un plano perpendicular.

Pueden desplazarse el vértice V del cono a lo largo del lugar geométrico, así como el foco F de la parábola. [br][br]La distancia del vértice V del cono a la recta QB = d[sub]L[/sub] es [br][br]VB = VC + CB [br][br]Pero VC = VD por ser tangentes desde V a la esfera de Dandelin, y[br][br]CB = FQ = OF = DO[br][br]las primeras igualdades por construcción y la última por igualdad de las tangentes a la esfera desde O. por tanto,[br][br]VC = VD + DO = VO[br][br]Y V describe efectivamente una parábola de foco O y directriz QB