Man kan använda primitiva funktioner för att beräkna arean under en graf.[br]Den kan ha olika betydelser utöver area som exempelvis sträckan om vi utgår från en hastighet.[br]Låt oss beräkna arean av en rätvinklig triangel som utgörs av positiva x-axeln och funktionen [math]f(x)=4x[/math].[br]Då kan vi söka den primitiva funktionen:[br][math]F(x)=\frac{4x^2}{2}=2x^2[/math] vi skippar konstanten C denna gång.[br]Kika i appletten nedan.

Du ser att bredden är x och höjden är 4x.[br]Arean av denna triangel är:[br][math]A=\frac{bh}{2}=\frac{x\cdot4x}{2}=2x^2[/math][br]Samma som för den primitiva funktionen! (Varav vi skippade C den gången).[br]Då kan vi beräkna arean för en sådan här figur. Exempelvis om den är 3 bred:[br][math]F\left(3\right)=2\cdot3^2=2\cdot9=18[/math][br][br]Men om det hade varit en figur som liknat den ovan men varit en fyrhörning som börjar på 2 och slutar på 3?[br]Då får vi räkna ut arean på två trianglar. Först när den är 3 bred och sedan när den är 2 och ta skillnaden mellan dem.[br]Med andra ord [math]F(3)-F(2)[/math].[br]Nu har vi redan beräknat den ena, men vi gör det igen.[br][math]F(3)-F(2)=2\cdot3^2-2\cdot2^2=18-8=10[/math][br]Då skulle arean för denna figur vara 10. Kontrollera i appletten nedan.[br]Här kan vi även se att en konstant hade försvunnit då:[br][math]F\left(x\right)=2x^2+C[/math][br][math]F\left(3\right)-F\left(2\right)=2\cdot3^2+C-\left(2\cdot2^2+C\right)=18+C-8-C=10[/math][br]Vilket gör att vi egentligen kan bortse konstanten när vi jobbar med detta.

Vi kan lösa det med något som heter integraler i stället.[br]Uttrycket [math]F\left(3\right)-F\left(2\right)[/math] skrivs i stället:[br][math]\begin{matrix}3\\\int\\2\end{matrix}f\left(x\right)dx[/math][br]och utläses "integralen av f(x) från 2 till 3" sen om man vill kan man lägga till "dx".[br]Det sista "dx" visar vad det är man integrerar, en så kallad integrationsvariabel.[br]Med detta behöver vi egentligen inte känna till vad det blir för figur som vi räknar arean från. Men det är alltid intressant att ha en idé om vad det kan vara.[br]Vi kan sammanfatta det som:[br][math]A=\begin{matrix}b\\\int\\a\end{matrix}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)[/math][br]Ofta så skriver man på följande sätt:[br][math]\begin{matrix}b\\\int\\a\end{matrix}f\left(x\right)dx=\left[F\left(x\right)\right]\begin{matrix}b\\\\a\end{matrix}=F\left(b\right)-F\left(a\right)[/math][br]man gör det mellansteget när man skriver i en klammer för att vara tydlig och visa vilken primitiv funktion det blir.[br][br]Låt oss ta ett exempel:[br]Beräkna integralen (eller då arean under grafen) för[br][math]\begin{matrix}2\\\int\\-2\end{matrix}\left(x^3-2x+2\right)dx[/math][br]Lösning:[br][math]\begin{matrix}2\\\int\\-2\end{matrix}\left(x^3-2x+2\right)dx=\left[\frac{x^4}{4}-\frac{2x^2}{2}+2x\right]\begin{matrix}2\\\\-2\end{matrix}=\left[\frac{x^4}{4}-x^2+2x\right]\begin{matrix}2\\\\-2\end{matrix}=\left(\frac{2^4}{4}-2^2+2\cdot2\right)-\left(\frac{-2^4}{4}-\left(-2\right)^2+2\cdot\left(-2\right)\right)=\left(4-4+4\right)-\left(4-4-4\right)=\left(4\right)-\left(-4\right)=4+4=8[/math]

Observera att beräkningen av [math]F(2)[/math] och [math]F(-2)[/math] här görs i separata parenteser fram till de är uträknade. Detta för att lättare hålla isär vad som är vad och för att få rätt med minustecknet i slutet.[br]Studera gärna i appletten nedan.

I senare kurser tittar man på vad som händer om man låter grafen, ytan, rotera kring x-axeln, så att en volym uppstår och man beräknar den.