動的複素関数論

Bunryu Kamimura, Oct 3, 2015

複素数と簡単な複素関数のイメージを育てるためのブックです。 複素数を動かしながら複素数と複素関数について学んでいきましょう。 参考サイト 【オイラーの公式の発見】[url]http://hamaguri.sakura.ne.jp/euler.html[/url] オイラーの公式がわかるととても便利です。

Table of Contents

  1. ガウス平面
    1. ｙ＝ｘ＾２＋１の根はどこにあるの？
    2. ガウス平面と演算
    3. 共役複素数
    4. ド・モアブルの定理
    5. e^(iθ)=cosθ+isinθ
    6. re^(iθ)=
    7. 複素数のかけ算の意味
    8. ｘ＾ｎ－１＝０の解
  2. 複素数の関数
    1. w=z+2とw=2z
    2. 複素関数のイメージ　Complex number function
    3. w=z^2+1
    4. w=z^2+1の座標変換
    5. w=x^2+1の対応
    6. w=z^2+1の円座標
    7. w=z^2+1の特異点
    8. 複素関数　ｗ＝1／ｚ
    9. 1/zの軌跡
    10. w=1/zの写像
    11. ｗ＝ｚ＾ｄ
    12. W=z^a　の写像
  3. 一次函数
    1. ｗ＝１／（１－ｚ）とｗ＝ｚ／（１－ｚ）
    2. ｗ＝（ｃｚ＋１）／（ｚ＋ｃ）
    3. 複素関数の一次函数
    4. 一次函数（等角写像）
  4. 初等関数
    1. ｗ＝Ａ^z　の写像
    2. logzとe^z
    3. logzの変換座標
    4. 三角関数
    5. sinzの写像
    6. w=coszの写像
  5. 複素関数の微分
    1. ｗ＝z＾Bの微分
    2. べき関数の微分
    3. 等角写像
  6. リーマン面
    1. 三角関数と指数関数
    2. w=z^2の特異点
    3. ｗ＝√ｚ　（リーマン面を考えるわけ）
    4. リーマン面のイメージ
    5. complex grid
  7. 複素積分
    1. 複素積分　w=z^3
    2. f(z)=zの経路積分(長さ）
    3. 複素積分　w=z^2

1.

ガウス平面

複素数の基礎を体感してみましょう。 不思議だと感じたらＯＫです。 これがガウス平面（複素平面）！ 参考 [url]http://hamaguri.sakura.ne.jp/sankakukansu.pdf[/url]三角関数の展開

  • 1. ｙ＝ｘ＾２＋１の根はどこにあるの？
  • 2. ガウス平面と演算
  • 3. 共役複素数
  • 4. ド・モアブルの定理
  • 5. e^(iθ)=cosθ+isinθ
  • 6. re^(iθ)=
  • 7. 複素数のかけ算の意味
  • 8. ｘ＾ｎ－１＝０の解

1.1.

ｙ＝ｘ＾２＋１の根はどこにあるの？

この[math]ｙ=x^2+1[/math]のグラフには、ｙ＝０の点は現れません。[br]それは、実数だけを見ているからです。[br]ｘを複素数に拡張すると、ｙ＝０になるｘが現れれてきます。[br]ｘを複素数Ａにして、[math]ｙ=A^2+1[/math]が０になるＡを見つけましょう。
ｙ＝ｘ＾２＋１の根はどこにあるの？
– Bunryu Kamimura

1.2.

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1.3.

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1.4.

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1.5.

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1.6.

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1.7.

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1.8.

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2.

複素数の関数

今までの関数を複素数で考えると、どうなるのでしょうか。 [math]y=1/x[/math]などの簡単な関数から調べてみましょう。 複素数の関数は[math]w=f(z)[/math]で表します。 ｚを複素数の範囲に拡げると、ｗはどんな変化を見せるのでしょうか。

  • 1. w=z+2とw=2z
  • 2. 複素関数のイメージ　Complex number function
  • 3. w=z^2+1
  • 4. w=z^2+1の座標変換
  • 5. w=x^2+1の対応
  • 6. w=z^2+1の円座標
  • 7. w=z^2+1の特異点
  • 8. 複素関数　ｗ＝1／ｚ
  • 9. 1/zの軌跡
  • 10. w=1/zの写像
  • 11. ｗ＝ｚ＾ｄ
  • 12. W=z^a　の写像

2.1.

w=z+2とw=2z

これらの関数は簡単にイメージできます。[br]座標をつまんで動かすと軌跡を消すことができます。
w=z+2とw=2z
マイナスの座標の方も調べてみましょう。
– Bunryu Kamimura

2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.5.

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2.6.

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2.7.

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2.8.

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2.9.

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2.10.

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2.11.

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2.12.

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3.

一次函数

[math]w=(az+b)/(cz+d)[/math]　　（ただしad-bc≠0）という関数を一次関数と言う。 この関数は、ｚ平面上の円をｗ平面上の円へ写す。 直線は無限遠点を通る円になる。

  • 1. ｗ＝１／（１－ｚ）とｗ＝ｚ／（１－ｚ）
  • 2. ｗ＝（ｃｚ＋１）／（ｚ＋ｃ）
  • 3. 複素関数の一次函数
  • 4. 一次函数（等角写像）

3.1.

ｗ＝１／（１－ｚ）とｗ＝ｚ／（１－ｚ）

BやEを右クリックして残像を選らぶと、軌跡がわかります。
ｗ＝１／（１－ｚ）とｗ＝ｚ／（１－ｚ）
– Bunryu Kamimura

3.2.

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3.3.

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3.4.

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4.

初等関数

三角関数や指数関数・対数関数の場合を調べます。

  • 1. ｗ＝Ａ^z　の写像
  • 2. logzとe^z
  • 3. logzの変換座標
  • 4. 三角関数
  • 5. sinzの写像
  • 6. w=coszの写像

4.1.

ｗ＝Ａ^z　の写像

カーソルで虚軸にそってＡを動かしてみよう。[br]複素数の世界では指数関数は周期関数になる。
ｗ＝Ａ^z　の写像
– Bunryu Kamimura

4.2.

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4.3.

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4.4.

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4.5.

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4.6.

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5.

複素関数の微分

関数が部分可能であるかどうかは重要です。 複素数の場合は、一次でなく平面のあらゆる方向から、導関数が一定の値になることが必要です。 それを微分可能関数（正則関数）と言います。

  • 1. ｗ＝z＾Bの微分
  • 2. べき関数の微分
  • 3. 等角写像

5.1.

ｗ＝z＾Bの微分

実数の時と同じように導関数を導くことができます。
ｗ＝z＾Bの微分
– Bunryu Kamimura

5.2.

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5.3.

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6.

リーマン面

ｚに対してｗ（ｚ）が一つ決まるようにするにはどうしたらいいのでしょうか。 リーマンさんのすごいアイディア。 周期関数は角度が周期を表わします。 その角度を無限に大きくすると一対一に対応します。 これはどういいうイメージなのでしょうか。

  • 1. 三角関数と指数関数
  • 2. w=z^2の特異点
  • 3. ｗ＝√ｚ　（リーマン面を考えるわけ）
  • 4. リーマン面のイメージ
  • 5. complex grid

6.1.

三角関数と指数関数

複素数の世界では、指数関数や三角関数は周期関数になります。[br]そうすると、逆関数はどうなるのでしょうか？[br]例えば、[math]w=z^2[/math]の逆関数[math]w=√z[/math]はどうなるのでしょうか？
三角関数と指数関数
– Bunryu Kamimura

6.2.

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6.3.

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6.4.

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6.5.

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7.

複素積分

複素平面での積分を調べます。 とても面白い法則が見つかります。 複素関数の積分の定義は、 [math]S_n=Σf(ζ_k)(z_k-z_{k-1})[/math] [math]limS_n=∫f(z)dz[/math]

  • 1. 複素積分　w=z^3
  • 2. f(z)=zの経路積分(長さ）
  • 3. 複素積分　w=z^2

7.1.

複素積分　w=z^3

ｚを直線と考え、ｆ（ｚ）の積分を定義に従って、計算してみました。[br]一定の数値に収束するのでしょうか。
複素積分　w=z^3
– Bunryu Kamimura

7.2.

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7.3.

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