Wir untersuchen die begleitende Bewegung einer genügend oft differenzierbaren Kurve [math]C[/math]: [math]t\mapsto z\left(t\right)[/math] oder einer analytischen Funktion [math]z\mapsto f\left(z\right)[/math] in [math]\mathbb{C}[/math], bezüglich des euklidischen Standard-Koordinatensystems [math]\mathbf\vec{p}_\infty,\;\mathbf\vec{g}_0,\,\mathbf\vec{p}_0 [/math].[br]Die begleitende Bezugssysteme[br][list][*][math]\mathbf\vec{p}_{0C}(t)=\frac{1}{z'(t)}\cdot\mathbf\vec{p}(z(t))=\frac{1}{z'(t)}\cdot\left(\frac{z(t)^2}{2}\cdot\mathbf\vec{p}_\infty+z(t)\cdot\mathbf\vec{g}_0+\mathbf\vec{p}_0\right),\;\mathbf\vec{g}_{0C}(t)=\mathbf\vec{p}_0'(t),\;\mathbf\vec{p}_{\infty C}(t)[/math] bzw. [/*][*][math]\mathbf\vec{p}_{0f}(z)=\frac{1}{f'(z)}\cdot\mathbf\vec{p}(f(z))=\frac{1}{f'(z)}\cdot\left(\frac{f(z)^2}{2}\cdot\mathbf\vec{p}_\infty+f(z)\cdot\mathbf\vec{g}_0+\mathbf\vec{p}_0\right),\;\mathbf\vec{g}_{0f}(t)=\mathbf\vec{p}_{0f}'(z),\;\mathbf\vec{p}_{\infty f}(z)[/math][br][/*][/list]bilden jeweils ein bewegtes euklidisches KOS mit den in [b](5.9)[/b] genannten Eigenschaften. [br]Mit den Ableitungsgleichungen [br][list][*][math]\begin{matrix} \mathbf\vec{p}_0\,' &=& &\mathbf\vec{g}_0\\[br]\mathbf\vec{g}_0\,'&=&\mathbf\vec{p}_\infty& &-c\cdot\mathbf\vec{p}_0\\[br]\mathbf\vec{p}_\infty\,'&=& &-c\cdot\mathbf\vec{g}_0\end{matrix}[br][/math][br][/*][/list]berechnet man die natürliche Funktion [math] c=-\frac{1}{2}\cdot {{\mathbf\vec{g}_0}'}\,^2[/math] und daraus die sogenannte [i][b]Schwarzsche Ableitung[/b][/i] [br][list][*][math] s(z,t):=c(t)=\frac{2\cdot z'''(t)\cdot z'(t)-3\cdot z''(t)\,^2}{2\cdot z'(t)\,^2}[/math] bzw. [math]s\left(f,z\right):=c(z)=\frac{2\cdot f'''(z)\cdot f'(z)-3\cdot f''(z)\,^2}{2\cdot f'(z)\,^2}[/math].[br][/*][/list]Einige [u][i][b]Eigenschaften[/b][/i][/u] der [i]Schwarzschen Ableitung[/i]:[br][list][*]Die Schwarzsche Ableitung ist abhängig von der Parametrisierung der Kurve, bzw. der Funktion.[br]Dies ergibt sich aus der [i]Kettenregel[/i] für die [i]Schwarzsche Ableitung[/i]:[br][list][*][math]s\left(f\circ g,t\right)=s\left(f,g\right)_t\cdot g'\left(t\right)^2+s\left(g,t\right)[/math][br][/*][/list][/*][*]Die Schwarzsche Ableitung einer Möbiustransformation oder einer reellen gebrochen-linearen Parametertransformation ist 0: [math]s\left(\frac{a\cdot z+b}{c\cdot z+d},z\right)=0[/math]. Hieraus folgt unmittelbar, dass die Schwarzsche Ableitung eine [i][b]Möbiusinvariante[/b][/i] ist.[/*][*]Ist die Schwarzsche Ableitung an einer Stelle reell, so liegt ein Scheitel vor: der Schmiegkreis berührt in mindestens 3. Ordnung. Für eine konvexe geschlossene Kurve gilt der [i]Vierscheitelsatz[/i]: eine solche Kurve besitzt mindestens 4 Scheitel, siehe Literaturverzeichnis [BARN].[br][/*][*]Ist die Schwarzsche Ableitung konstant, so ist die begleitende infinitesimale Bewegung ebenfalls konstant, Die begleitende Bewegung ist eine W-Bewegung, die Kurve eine W-Kurve.[br][list][*] Ist die Schwarzsche Ableitung konstant, reell und kleiner 0, so ist die W-Kurve ein [i]elliptisch[/i] parametrisierter Kreis, zB. [math]t\mapsto e^{i\cdot t}\cdot z_0=\left(cos\left(t\right)+i\cdot sin\left(t\right)\right)\cdot z_0[/math][/*][*] Ist sie konstant, reell und positiv, so ist die Bahnkurve ein [i]hyperbolisch[/i] parametrisierter Kreis (mit 2 Fixpunkten) zB. [math]t\mapsto e^{t}\cdot z_0[/math][/*][/list][/*][/list][u][i]Musterbeispiele[/i][/u] für die letzten Aussagen: [br] [math]z\mapsto tan\left(z\right)[/math] besitzt die Schwarzsche Ableitung [math]s\left(tan,z\right)=2[/math], und bei [math]\pm1[/math] ist [math]tan'\left(z\right)=0[/math],[br] [math]z\mapsto exp\left(w\cdot z\right)[/math] besitzt die Schwarzsche Ableitung [math]s\left(exp\left(w\cdot z\right),z\right)=-\frac{w^2}{2}[/math].[br]Für [math]w\in\mathbb{R}[/math] sind die Bahnkurven Ursprungsgeraden, für [math]w\in i\cdot\mathbb{R}[/math] erhält man konzentrische Kreise um den Ursprung. Sonst ergeben sich logarithmische Spiralen zum Winkel [math]\varphi=arg\left(w\right)[/math].[br][br]Die Möbiustransformation [math]z\mapsto m(z):=\frac{i\cdot\left(z+1\right)}{1-z}[/math] bildet 0 auf [math]i[/math] und [math]\infty[/math] auf [math]-i[/math] ab, die Schwarzsche Abbleitung ist 0. Mit der Kettenregel oben folgt daraus:[br][list][*][math]tan\left(z\right)=m\left(exp\left(2i\cdot z\right)\right)=\frac{i\cdot\left(exp\left(2i\cdot z\right)+1\right)}{1-exp\left(2i\cdot z\right)}[/math].[br][/*][/list][i][color=#cc0000][size=50][right]Längere Ladezeiten!![/right][/size][/color][/i]

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