Data una funzione [math]\large\bf y=f(x)[/math] [b]continua[/b] nell'intervallo [math]\large\bf [a,b]\subset D\left(f\right)[/math].[br][list=1][*]Si suddivide l'intervallo [math]\large\bf [a,b][/math] in [b]n[/b] intervalli uguali [math]\large\bf [x_i, x_{i+1}]_{\left(i=1,\dots,n\right)}[/math], con [math]\large\bf a=x_1[/math] e [math]\large\bf b=x_{n+1}[/math], di ampiezza [math]\large\bf \Delta x=\frac{b-a}{n}[/math].[/*][*]Visto che la funzione è continua in [math]\large\bf [a, b][/math], lo sarà anche negli n sotto-intervalli, quindi in ognuno vale il [b]Teorema di Weierstrass[/b], ovvero esiste il [b]minimo[/b] e [b]massimo assoluto[/b] della funzione per ogni intervallo, ovvero:[br][center][math]\large\bf \exists\; m_i=\min_{\normalsize x\in\left[x_i,x_{i+1}\right]}\left(f(x)\right)\quad\quad \exists\; M_i=\max_{\normalsize x\in\left[x_i,x_{i+1}\right]}\left(f(x)\right)\quad\left(i=1,\dots,n\right)[/math][/center][/*][*]Si considerano i rettangoli aventi come base [math]\large\bf \Delta x[/math] e per altezza rispettivamente i minimi [math]\large\bf m_i[/math] per quelli inscritti, i massimi [math]\large\bf M_i[/math] per quelli circoscritti, ed aventi rispettivamente aree:[br][center][math]\large\bf m_i\cdot\Delta x\quad\quad M_i\cdot\Delta x\quad\left(i=1,\dots,n\right)[/math][/center][/*][*]Pertanto, sommando le aree rispettivamente degli n [b]cilindri inscritti[/b] e degli n [b]cilindri circoscritti[/b], vale quanto segue:[center][math]\large\bf \sum_{i=1}^n m_i\cdot\Delta x\le A\le\sum_{i=1}^n M_i\cdot\Delta x[/math][/center]dove [b]A[/b] è la misura della superficie compresa tra il diagramma della funzione e l'[b]asse x[/b] nell'intervallo [math]\large\bf [a,b][/math].[/*][/list]

Data una funzione [math]\large\bf y=f(x)[/math] [b]continua[/b] nell'intervallo [math]\large\bf [a,b]\subset D\left(f\right)[/math], e la suddivisione in [b]n[/b] intervalli uguali [math]\large\bf [x_i, x_{i+1}]_{\left(i=1,\dots,n\right)}[/math], con [math]\large\bf a=x_1[/math] e [math]\large\bf b=x_{n+1}[/math], e siano [math]\large\bf s_n=\sum_{i=1}^n m_i\cdot\Delta x[/math] e [math]\large\bf S_n=\sum_{i=1}^n M_i\cdot\Delta x[/math] le aree rispettivamente del pluri-rettangolo inscritto e circoscritto alla curva della funzione; se:[center][math]\Large\bf\exists\lim_{n\to+\infty}s_n=\lim_{n\to+\infty}S_n=S\in\mathbb{R}[/math][/center]si dice che la funzione [math]\large\bf y=f(x)[/math] ammette [b]integrale definito[/b] nell'[b]intervallo d'integrazione[/b] [math]\large\bf [a,b][/math] uguale a tale limite e si scrive:[br][center][math]\Large\bf\int_a^bf\left(x\right)\ dx[/math][/center]

L'integrale definito rappresenta l'area della parte di piano compresa tra il grafico della curva e l'asse x all'interno dell'[b]intervallo d'integrazione[/b] [math]\large\bf [a,b][/math] con le seguenti note:[br][list][*][b]Sopra l'asse x[/b]: Se [math]\large\bf f(x)>0[/math], l'integrale è [b]positivo[/b] (Area positiva).[/*][*][b]Sotto l'asse x[/b]: Se [math]\large\bf f(x)<0[/math], l'integrale è [b]negativo[/b] (Area negativa).[/*][/list]

Data una funzione[b] y=f(x[/b]) continua in un intervallo [b][a,b][/b], esiste almeno un punto c∈[b][a,b][/b] tale che[br][center][math]\large\int_a^b f\left(x\right)dx=f\left(c\right)\cdot\left(b-a\right)[/math][/center][br]o in alternativa[br][center][math]\large f(c)=\frac{\int_a^bf\left(x\right)dx}{b-a}[/math][/center][center]__________________________________________________________________________________________________________[/center]

La prima forma della tesi del teorema della media integrale si può interpretare affermando che "[i]data una funzione[b] y=f(x[/b]) continua in un intervallo [b][a,b][/b], esiste almeno un punto [b]c∈[a,b][/b] tale che il rettangolo di base [b][a,b][/b] e altezza [b]f(c)[/b] ha la stessa area della superficie compresa tra la curva e l'[b]asse x[/b][/i]."[center]__________________________________________________________________________________________________________[/center]

La seconda forma della tesi del teorema della media integrale ne giustifica il nome definendo pertanto il punto [b]c∈[a,b][/b] valor medio.[center]__________________________________________________________________________________________________________[/center]

[list][*]Si possono spostare gli estremi [b]a[/b] e [b]b[/b] per modificare l'intervallo d'integrazione[/*][*][b]Mostra guide[/b]: mostra/nasconde 4 punti sul grafico mediante i quali modificare la funzione[/*][*][b]Mostra traccia[/b]: mostra/nasconde la traccia della funzione esterna all'intervallo d'integrazione[/*][*][b]Mostra area[/b]: mostra/nasconde l'area compresa tra la curva e l'asse X, ovvero l'integrale definito.[/*][*][b]Mostra pt. medio[/b]: sull'asse X mostra/nasconde il valore medio [b]c[/b] (anche più di uno) e relativo valore [b]f(c)[/b] sull'asse Y[/*][*][b]Mostra rettangolo[/b]: mostra/nasconde il rettangolo con area uguale all'integrale definito e relativo calcolo, ovvero la tesi del Teorema.[/*][/list]

Per ipotesi la funzione è continua nell'intervallo chiuso [b][a, b][/b], quindi per il [b]Teorema di Weierstrass[/b] all'interno dell'intervallo ammette massimo e minimo assoluti, ovvero:[br][br][center][math]\large\bf m=\min_{x\in[a,b]}(f(x))\quad\quad M=\max_{x\in[a,b]}(f(x))[/math][/center]ovvero[center][math]\large\bf m\le f(x)\le M\quad\forall x\in[a,b][/math][/center]Pertanto vale la seguente disuguaglianza triangolare:[br][center][math]\large\bf (b-a)\cdot m\le\int_a^b f(x) dx\le(b-a)\cdot M[/math][/center]da cui dividendo tutto per [math]\large\bf (b-a)[/math] si ottiene:[br][center][math]\large\bf m\le\frac{\int_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{dx}}{b-a}\le\mathrm{M}[/math][/center]La funzione è continua nell'intervallo chiuso [b][a, b][/b], quindi vale il [b]Teorema dei valori intermedi[/b], ovvero la funzione assume tutti i valori compresi tra i valori di minimo e massimo.[br]Quindi[center][math]\large\bf \exists c\in\left[a,b\right]\ /\ f(c)=\frac{\int_a^bf(x)dx}{b-a}[/math][/center]ovvero la tesi del teorema.[center]__________________________________________________________________________________________________________[/center]