Data una funzione[b] y=f(x[/b]) continua in un intervallo [b][a,b][/b], esiste almeno un punto c∈[b][a,b][/b] tale che[br][center][math]\large\int_a^b f\left(x\right)dx=f\left(c\right)\cdot\left(b-a\right)[/math][/center][br]o in alternativa[br][center][math]\large f(c)=\frac{\int_a^bf\left(x\right)dx}{b-a}[/math][/center][center]__________________________________________________________________________________________________________[/center]

La prima forma della tesi del teorema della media integrale si può interpretare affermando che "[i]data una funzione[b] y=f(x[/b]) continua in un intervallo [b][a,b][/b], esiste almeno un punto [b]c∈[a,b][/b] tale che il rettangolo di base [b][a,b][/b] e altezza [b]f(c)[/b] ha la stessa area della superficie compresa tra la curva e l'[b]asse x[/b][/i]."[center]__________________________________________________________________________________________________________[/center]

La seconda forma della tesi del teorema della media integrale ne giustifica il nome definendo pertanto il punto [b]c∈[a,b][/b] valor medio.[center]__________________________________________________________________________________________________________[/center]

[list][*]Si possono spostare gli estremi [b]a[/b] e [b]b[/b] per modificare l'intervallo d'integrazione[/*][*][b]Mostra guide[/b]: mostra/nasconde 4 punti sul grafico mediante i quali modificare la funzione[/*][*][b]Mostra traccia[/b]: mostra/nasconde la traccia della funzione esterna all'intervallo d'integrazione[/*][*][b]Mostra area[/b]: mostra/nasconde l'area compresa tra la curva e l'asse X, ovvero l'integrale definito.[/*][*][b]Mostra pt. medio[/b]: sull'asse X mostra/nasconde il valore medio [b]c[/b] (anche più di uno) e relativo valore [b]f(c)[/b] sull'asse Y[/*][*][b]Mostra rettangolo[/b]: mostra/nasconde il rettangolo con area uguale all'integrale definito e relativo calcolo, ovvero la tesi del Teorema.[/*][/list]

Per ipotesi la funzione è continua nell'intervallo chiuso [b][a, b][/b], quindi per il [b]Teorema di Weierstrass[/b] all'interno dell'intervallo ammette massimo e minimo assoluti, ovvero:[br][br][center][math]\large\bf m=\min_{x\in[a,b]}(f(x))\quad\quad M=\max_{x\in[a,b]}(f(x))[/math][/center]ovvero[center][math]\large\bf m\le f(x)\le M\quad\forall x\in[a,b][/math][/center]Pertanto vale la seguente disuguaglianza triangolare:[br][center][math]\large\bf (b-a)\cdot m\le\int_a^b f(x) dx\le(b-a)\cdot M[/math][/center]da cui dividendo tutto per [math]\large\bf (b-a)[/math] si ottiene:[br][center][math]\large\bf m\le\frac{\int_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{dx}}{b-a}\le\mathrm{M}[/math][/center]La funzione è continua nell'intervallo chiuso [b][a, b][/b], quindi vale il [b]Teorema dei valori intermedi[/b], ovvero la funzione assume tutti i valori compresi tra i valori di minimo e massimo.[br]Quindi[center][math]\large\bf \exists c\in\left[a,b\right]\ /\ f(c)=\frac{\int_a^bf(x)dx}{b-a}[/math][/center]ovvero la tesi del teorema.[center]__________________________________________________________________________________________________________[/center]