Mit diesem interaktiven Arbeitsblatt bildest du mit grafischen Mitteln die Ableitung der Exponentialfunktion [math]f(x)=a^x[/math]

1.)[br]Stelle die gewünschte Basis a mit dem roten Schieberegler ein.[br][br]2.)[br]Ziehe den Ziehpunkt auf dem Graphen entlang und beobachte dabei die Tangente a[br][br]3.)[br]Die Steigung der Tangente an einer Stelle x ist bekanntlich der Wert der[br] Ableitung an dieser Stelle. Den Wert der Steigung (bzw. der Ableitung) [br]bekommst du angezeigt, wenn du das Kästchen "Steigungsdreieck anzeigen" [br]aktivierst.[br][br]4.)[br]Wir bilden nun grafisch die Ableitungsfunktion:[br]Eigentlich müsste man eine Wertetabelle anlegen: Als x-Werte jeweils die[br] x-Werte des Ziehpunktes und als zugehörige y-Werte die [br]Tangentensteigungen an diesen Stellen. Dann könnte man die Funktion [br]zeichnen.[br]Wir benutzen diese Idee, lassen uns aber die Punkte für den Graphen der [br]Ableitungsfunktion direkt vom Computer einzeichnen (Kästchen "Steigung [br]als y-Wert abtragen" aktivieren).[br][br]4.)[br]Der "Spurpunkt" ist nun ein Punkt der Ableitungsfunktion. Er zeigt mit [br]seinem y-Wert (grüne Linie) genau die Ableitung der roten Funktion an [br]der Stelle x an, an der sich der Ziehpunkt gerade befindet.[br]Wenn man nun den Ziehpunkt weiter zieht, so passt sich auch der [br]Spurpunkt entsprechend an. D. h. er fährt sozusagen auf dem Graphen der [br]Ableitungsfunktion entlang.[br][br]5.)[br]Diesen Graphen der Ableitungsfunktion kannst du auch sichtbar machen, [br]indem du den Spurpunkt mit Rechts anklickst und im Kontextmenü "Spur an"[br] auswählst. Wenn du nun mit dem Ziehpunkt hin und her fährst, malt der [br]Spurpunkt den Graphen der Ableitungsfunktion.[br][br]6.)[br]Es sieht wohl ganz danach aus, dass die Ableitung einer [br]Exponentialfunktion wieder eine Exponentialfunktion ist. Die Frage ist: [br]Was für eine genau? Wir suchen nun die Funktionsgleichung der Ableitung:[br][list][*]Der Graf der Ableitungsfunktion geht nicht durch den Punkt (0|1). Also kann es keine Funktion der Form [math]f'(x)=a^x[/math] sein.[/*][*]Vertikal verschoben ist der Graph auch nicht. Das sieht man daran, dass im negativen Bereich sich die Graphen der Funktion und der Ableitung fast decken.[/*][*]Der Graph könnte allerdings gestaucht bzw. gestreckt sein. Das würde eine Funktionsgleichung [math]f'(x)=ca^x[/math] nahe legen.[/*][/list][br]7.)[br]Aktiviere das Kästchen "zweite Funktion anzeigen". Versuche nun mit dem [br]pinken Schieberegler c so einzustellen, dass sich der pinke [br]Funktionsgraph mit dem Graphen der Ableitung deckt.[br]Die Funktionsgleichung der pinken Funktion ist also die gesuchte Gleichung der Ableitung[br][br][b]Die Ableitung einer Exponentialfunktion [math]f\left(x\right)=a^x[/math] ist also eine Exponentialfunktion mit der selben Basis, lediglich mit einem Faktor c gestreckt: [math]f\left(x\right)=c\cdot a^x[/math][/b]