Legyen adott a P-modellen az [i]a[/i] egyenes és egy [i]a[/i]-ra nem illeszkedő [i]P[/i] pont. Szerkesszük meg a P-re illeszkedő, [i]a[/i]-val egyirányú (ultrapárhuzamos) egyeneseket!

Bolyai János szerkesztését fogjuk megismételni a P-modellen:[br](Bolyai J.: Appendix a tér tudománya, 34. $ , Akadémiai Kiadó Budapest, 1977. 107. old.)[br][list][*]Legyen a [i]P[/i] –ből [i]a[/i]-ra bocsátott merőleges talppontja [i]T[/i], az [i]a[/i] egyenes egy tetszőleges, [i]T[/i] -től különböző pontja [i]A [/i]![br][/*][*]Szerkesszük meg azt a [i]PTAF[/i] négyszöget, amelynek  a [i]T, A[/i] és [i]F[/i] csúcsaihoz tartozó szögei derékszögek![br][/*][*]Legyen [i]H[/i] a [i]PT[/i] szakasznak az a pontja, amelyre [i]AH=FP ![/i][/*][*] Szerkesszük meg az [i]ε = AHT[/i] szöggel egybevágó, P csúcspontú szögeket, amelynek egyik szára PT![/*][/list]Ezek a szögszárak alkotják a P-re Illeszkedő a-val aszimptotikusan párhuzamos egyeneseket. [br][br]Annak a bizonyítása, hogy az itt leírt szerkesztés helyes, meghaladja a céljainkat és lehetőségeinket. A szerkesztés helyességét - és pontosságát - a [b]HEgyenesekKapcsolata[] [/b]saját eljárással ellenőriztük. ellenőrizni.

Bolyai János szóhasználatát követve nevezzük az[i] elpattanás szögének [/i]azt a szöget, amely a [i]P[/i]-ből [u]a[/u]-ra bocsátott merőleges, és a [i]P[/i]-re illeszkedő [i]a[/i]-val egyirányú egyenes zár be egymással. [br]Ez a szóhasználat valóban szemléletes, erre [url=https://www.geogebra.org/m/Hf3wzUKD#material/g69VYk3q] itt már láttunk példát,[/url] hogy miként "pattan el" egy [i]P[/i]-re illeszkedő egyenes elválasztva a [i]P[/i]-re illeszkedő [i]a[/i]-t metsző egyeneseket az [i]A[/i] -ra illeszkedő ultrapárhuzamos egyenesektől.[br][br]Megjegyezzük még, hogy a fenti szerkesztés 4. lépésében megjelenik az un. [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Hiperbolikus_geometria]Lambert-négyszög[/url]: olyan négyszög, amelynek három szöge derékszög. [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Johann_Heinrich_Lambert]J.H. Lambert[/url] (1728-1777) azt vizsgálta, hogy vajon mekkora lehet a negyedik? Az[b][color=#0000ff] euklideszi geometriában ez szükségképpen derékszög[/color][/b], a[b] [color=#980000]gömbi geometriában ennél nagyobb[/color][/b]. "Elvileg", lehetne kisebb is a derékszögnél, de ezt a lehetőséget - ellentétben Bolyaival és Lobacsevszkíjjel - elvetette, mondván: ez bizarr, ellentmondó feltevés.

Legyen [i]A[sub]0[/sub][/i] a [i]P[/i] középpontú, [i]F[/i] -re illeszkedő körnek és a [i]P[/i]-ből induló, [i][T,A)[/i] félegyenessel aszimptotikusan párhuzamos egyenesnek  a metszéspontja. Legyen továbbá [i]T[sub]0[/sub][/i] ennek a [i](PT)[/i] egyenesre eső merőleges vetülete. Megmutatható, hogy:     [br][list][*]a [i][T[sub]0[/sub]A[sub]0[/sub])[/i] és [i][PF)[/i] félegyenesek aszimptotikusan párhuzamosak;    [/*][*]az [i]A[sub]0[/sub][/i] és A pontok tengelyesen szimmetrikusak a[i] T[sub]0[/sub] T [/i]szakasz felező merőlegesére.[/*][/list]Ezt a kapcsolatot később fel fogjuk használni.