Douze points remarquables sur l'axe orthique, polaires de H par rapport au cercle d'Euler et au cercle circonscrit.[br][br][i]Données[/i][br]Soit ABC un triangle et cercle (c) son cercle circonscrit, de centre O.[br]On désigne par H son orthocentre.[br][br]AA1, BB1, CC1 : les trois hauteurs, A1, B1, C1 les pieds des hauteurs, formant le triangle orthique, inscrit dans le cercle d'Euler (c’) du triangle ABC ;[br]Ω, milieu de [OH], est le centre du cercle d'Euler ;[br]A", B", C" : les milieux des segments [AH], [BH], [CH], situés sur le cercle d'Euler ;[br]P, Q, R : les intersections des droites (BC, B1C1), (CA, C1A1), (AB, A1B1) ;[br]P’, Q’, R’ : les intersections de (B"C", B2C2), (C"A", C2A2), (A"B", A2B2) ;[br]I, J, K : les intersections de (B1C", BC2), (C1A", CA2), (A1B", AB2) ;[br]I’, J’, K’ : les intersections de (C1B", CB2), (A1C", AC2), (B1A", BA2);[br]P1, Q1, R1 : les intersections de (B"C", B1C1), (C"A", C1A1), (A"B", A1B1) ;[br]I1, J1, K1 : les intersections de (B"C1, C"B1), (A"C1, C"A1), (B"A1, A"B1) ;[br][br][i]Points remarquables sur l'axe orthique, polaires de H par rapport au cercle d'Eulert[/i][br][br]Les points P, Q, R sont alignés sur un même droite Δ, axe orthique du triangle, axe radical des deux cercles (c) et (c’),[br]Les six points P1, Q1, R1, I1, J1, K1 appartiennent à une droite D1, polaire de H par apport au cercle d'Euler ;[br]L'axe orthique Δ est perpendiculaire à la droite d'Euler (l'axe radical des deux cercles est perpendiculaire à la ligne des centres OΩ) ;[br][br]Les droites D1 et Δ sont parallèles.

Les droites (AI1), (BJ1), (CK1) sont concourantes en Ω, centre du cercle d'Euler (c’) du triangle ABC.[br][br][i]Outils GeoGebra[/i][br]Le centre du cercle d'Euler est le point X(5) de ETC (encyclopédie des points du triangles).[br]Il se trouve avec la commande : Ω = TriangleCentre[A,B,C,5][br][br]Descartes et les Mathématiques - [url=http://www.debart.fr/geogebra/droite12points_classique.html#ch4]L'axe orthique[/url]