Morten Engelsmann, Sep 30, 2016

Matematiske [b]funktioner[/b] bruges til at modellere mange fænomener fra fysik, økonomi, kemi, biologi, samfundsforhold ... Funktioner i matematisk forstand er kendetegnet ved entydighed: Der er højst en værdi af den afhængige variabel knyttet til den uafhængige variabel (eller de uafhængige variable - men funktioner af flere variable ligger udenfor gymnasiets kernestof). Ofte giver mening at udtrykke funktioner med et regneudtryk. Ofte giver mening at udtrykke funktioner med en graf. Grafen er da en kurve, som (grundet det oven anførte entydighedskrav) vil leve op til den lodrette linietest, hvor en lodret linie stryger gennem [b]definitionsmængden[/b] og alle steder skærer grafen i 1 punkt eller slet ikke skærer. Ofte giver det mening at udtrykke funktioner som [b]aftagende [/b]eller [b]voksende[/b], med (lokale eller globale) [b]ekstrema [/b](minima, maksima) for bestemte punkter i definitionsmængden, og med skæringer med x-akse ([b]nulpunkter[/b]) og y-akse ([i]x[/i]=0) bestemte steder. I det følgende skal vi se både på konkrete funktioner og på "funktionen" som sådan med dens egenskaber og muligheder. De kapitler, der er markeret med (*), er supplerende stof, som vi eventuelt kommer ind på. Der er også markeret funktionstyper, der gennemgås i 3g, selvom det meste funktions-kendskab opbygges i 2g på htx.

Vi ser på hvad funktioner er, hvad de kan og hvordan vi undersøger en given funktion

• 1. Repræsentationsformer
• 2. At undersøge eller beskrive en funktion
• 3. Ret linje gennem kendt punkt med kendt hældning

Når vi opløfter en variabel i en fast potens, får vi en række forskellige sammenhænge mellem variablen og de beregnede (funktions)værdier. Fælles for alle potensfunktionerne er [b]monotoni[/b]. Elementær sprogbrug om potenser, [math]a^b[/math]: Tallet [i]som helhed[/i] kaldes netop [b]potens[/b], fx [math]3^{-6}[/math] og [math]\left(\frac{7}{13}\right)^{2/5}[/math]. Det tal der "ganges med sig selv", kaldes [b]grundtallet[/b], som i tilfældet [math]3^{-6}[/math] er 3 og i sidstnævnte tilfælde er [math]\frac{7}{13}[/math]. Det lille tal, "hvormange gange der skal ganges sammen", kaldes [b]eksponent[/b]. Der er i førstnævnte tilfælde altså tale om [math]-6[/math], i sidstnævnte [math]\frac{2}{5}[/math]. Vi taler altså om potensen [math]g^e[/math], med grundtallet [i]g[/i] og eksponenten [i]e[/i].

• 1. Situation: heltallig eksponent
• 2. Situation med rationel eksponent
• 3. Bestemmelse af forskrift for potensfunktioner
• 4. Graf for potensfunktion

Selvom det langt fra er alle funktioner, der har egenskaben af at være ulige, eller at være lige for den sags skyld, giver den symmetri som disse to egenskaber [url=http://ordnet.dk/ddo/ordbog?query=forlene&tab=for]forlener[/url] funktioner med, en indsigt i hvordan funktionen bruges ved ligningsløsning i andre sammenhænge.

This chapter does not contain any resources yet.

Vi kan [b]regne med funktioner[/b], i det store og hele som vi kan [b]regne med tal[/b]. Vi kan derfor danne nye funktioner ved at sætte en eller flere funktioner sammen i et regneudtryk.

• 1. Koefficientfunktion
• 2. Sumfunktion
• 3. Produktfunktion
• 4. Kvotientfunktion
• 5. Sammensat funktion
• 6. Stykvis sammensat funktion

Vi danner funktionstypen ved at bruge koefficientfunktion og sumfunktion (differensfunktion) på elementer af den [b]delmængde[/b] af potensfunktioner, som har [b]heltallige eksponenter[/b], har vi den gruppe af funktioner

• 1. Grad af et polynomium
• 2. Nulpunkter i polynomier (Rødder)
• 3. Numerisk metode til nulpunktssøgning
• 4. Parablens toppunkt
• 5. Polynomiel regression - variable punkter

Forskrifter, som opfylder visse betingelser ved at have fastlagt parametre, men stadig har en eller flere parametre der tillades at variere, producerer flere funktioner. Vi kalder dem [b]familier af funktioner[/b]. [b]Eksempel[/b]: Familien [math]f(x)=\sqrt{2}z\cdot x^2+2x+3,z\in \mathbb{Z}[/math] har medlemmerne [math]\dots f_{-2}(x)=-2\sqrt{2}\cdot x^2+2x+3 [/math], [math] f_{-1}(x)=-\sqrt{2}\cdot x^2+2x+3 [/math], [math] f_{0}(x)=2x+3 [/math], [math] f_{1}(x)=\sqrt{2}\cdot x^2+2x+3 [/math], [math] f_{2}(x)=2\sqrt{2}\cdot x^2+2x+3, \dots[/math]. Bemærk, at parameterens værdi er skrevet som fodtegn ([i]indeks[/i]), så hvert medlem af funktionsfamilien har sit særskilte "navn" eller symbol, eksempelvis [math]f_{-21}[/math], der dog ikke er skrevet ud ovenfor.

• 1. Funktionsfamilier

Ofte har vi et behov for at beskrive en sammenhæng, som dog ikke kan observeres uhildet i "naturen", fx uddannelsesniveau målt i års skolegang og studier som abscisse og nutidsværdi af livstidsindkomst som ordinat (eller med andre ord: "Hvad får jeg - i kroner og øre - ud af at uddanne mig?"). På trods af "støjen", kan vi ofte skabe mening i data ved at lægge en graf ind over data. Vi vælger en funktionstype, vi vil tilpasse, og ud fra data optimerer vi funktionens parameterværdier, så vi får den [i]bedste[/i] graf gennem en måske noget spredt sværm af punkter. Øvelsen kaldes [b]regression[/b], hvor et foranstillet adjektiv kan fortælle om funktionstypen. Fx tilpasser man med [b]lineær regression[/b] parameterværdierne til en linies ligning, så man får den "bedste" linie gennem de givne datapunkter.

This chapter does not contain any resources yet.

Når vi vil karakterisere en funktions værdier som [b]sammenhængende[/b], eller sige at [b]funktionen er kontinuert[/b] et sted (i et punkt) møder vi nogle udfordringer, vi vil se på i dette afsnit

• 1. Grænseværdi
• 2. På vej mod en nyttig definition af sammenhængende, kontinuert

Vender man potensfunktionens elementer rundt, så variablen bliver eksponenten og det konstante element ([b]parameteren[/b]) bliver potensens grundtal, fås funktionsmængden [b]eksponentialfunktioner[/b]. Sammensat som koefficientfunktioner betegnes mængden eksponentielle funktioner, [math]f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, x\rightarrow b\cdot a^x,a,b\in\mathbb{R}[/math]. Disse funktioner kendetegnes ved, at [b]samme tilvækst i den uafhængige variabel [/b](fx 1 fra 20 til 21 og fra 999 til 1000) giver [b]samme procentvise tilvækst[/b] i funktionsværdi.

• 1. Potensregneregler
• 2. Eksponentialfunktion
• 3. Eksponentiel udvikling
• 4. Fordoblingskonstant
• 5. Halveringstid

I dette kapitel beskæftiger vi os med netop den type funktioner, som regner tilbage fra nogle af de funktioner, vi allerede har stiftet bekendtskab med. Vi skal se at potensfunktioners inverse også selv er potensfunktioner, medens eksponentialfunktioners inverse betegnes logaritmefunktioner. Da andre grupper af funktioner end de her nævnte er injektive - og derfor har inverse - ser vi også på eksempler på andre typer af funktioner end de to nævnte.

• 1. At undersøge eller beskrive en funktion
• 2. Injektivitet - når der er en vej tilbage
• 3. Lineære funktioners inverse
• 4. Invers eksponentialfunktion: Logaritmefunktion
• 5. Potensfunktioners inverse

Idag opfattes også trigonometriske relationer som cosinus, sinus, tangens, sekans, cotantens og cosekans, som funktioner. Vi skal se på de tre førstnævnte.

• 1. Trigonometriske funktionsværdier og enhedscirklen
• 2. Trigonometriske grundligninger (radianer)
• 3. Bølgen

Man kan have tilfælde, hvor der er brug for en række [i]outputs[/i] fra samme variabel (eller fra samme gruppe af variable). Sådanne funktioner kaldes vektorfunktioner og er kernestof på htx 3g.

This chapter does not contain any resources yet.

Hvis definitionsmængden varierer i flere, for eksempel to, variable taler vi om [b]funktioner af flere variable[/b]. Værdimængden varierer ofte i en variabel som de funktioner, vi har beskæftiget os mere indgående med.

This chapter does not contain any resources yet.

• 1. Deskriptiv modellering
• 2. Sammensat funktion

Når vi udvider fra de reelle tal i definitions- og/eller værdimængde, støder vi på udfordringer med at afbilde funktionerne grafisk.

• 1. Indføring i de komplekse tal
• 2. Kompleks værdimængde