Durch Bewegen von [i]B[/i] ändert sich nur der rechte Teil des Dreiecks. Die Teilstrecken [i]AF[/i] und [i]AE[/i] bleiben gleich. Zudem sind sie gleich lang. Auch [i]BF[/i] und [i]BD[/i] sowie [i]CD[/i] und [i]CE[/i] sind jeweils gleich lang.

Der Mittelpunkt des Inkreises eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden des Dreiecks. Demnach ist [i]AM [/i]die Winkelhalbierende des Winkels [math]\alpha[/math] .

[br]Die Dreiecke [i]AFM[/i] und [i]AME[/i] haben den gleich großen Winkel [math]\frac{\alpha}{2}[/math] und jeweils einen [i]90°-[/i] Winkel an den Fußpunkten [i]E[/i] bzw. [i]F[/i]. Nach Innenwinkelsumme ist dann auch die dritte Winkelgröße gleich. Außerdem haben sie die gemeinsame Seite [i]AM [/i]und die daran angrenzende Seite mit Länge [i]r. [/i]Nach dem Kongruenzsatz ([i]WSW[/i]) folgt, dass die Dreiecke kongruent sind und demnach auch gilt: |[i]AF|=|AE|[br][/i]

Die gleich langen Teilstrecken der Seiten[i] a,b [/i]und [i]c[/i] wurden mit den Buchstaben [i]p,s [/i]und [i]t [/i]benannt

Für den Umfang gilt: [br][i][br]U[sub]ABC[/sub]=a+b+c [/i]oder[i] U[sub]ABC[/sub]=2t+2s+2p[/i]

Die Seite [i]a [/i]des Dreiecksist die Strecke [i]BC , [/i]welche in die Teilstrecken [i]p [/i]und [i]t [/i]aufgeteilt ist. [br]Daher gilt [i] a = t + p [/i]

Es gilt : [i]b = s + t [/i]und [i]c = s + p [/i]

Es gilt [i] a=t+p , b=s+t [/i]und [i] c=s+p[/i][sub] [/sub][sub][br][br][/sub]Also ist [i] b+c-a = s+t+s+p-(t+p)[br] = 2s+t-t+p-p[br] = 2s[/i]

Es ist[i] AF=s [/i]und nach den obigen Überlegungen folgt aus [br][i] [br]b+c-a = 2s [math]\Longleftrightarrow[/math] s=[math]\frac{\left(b+c-a\right)}{2}[/math][/i] [i]= AF[/i]