Wir betrachten die Funktion [math]f\left(x\right)=\frac{1}{x}[/math]. Wie sieht der Graph aus und warum? Das machen wir uns in mehreren Schritten klar.[br][br]Im folgenden Applet können Sie mit dem [color=#0000ff]linken Schieberegler[/color] kleine x-Werte und mit dem [color=#ff0000]rechten Schieberegler[/color] große x-Werte einstellen und beobachten, wie sich dabei die y-Werte verhalten. Gleichzeitig werden die entsprechenden Punkte im Koordinatensystem eingezeichnet, sodass sich ein Teil des Funktionsgraphen ergibt.

Was passiert, wenn wir x noch kleiner werden lassen, d.h. noch näher an x = 0 heran gehen? Anders gefragt: Was passiert für [math]x\rightarrow0[/math]? Schauen Sie sich das anhand des folgenden Schiebereglers an, indem Sie x immer kleiner werden lassen.

Wie man sieht, werden die y-Werte immer größer, je näher x gegen Null geht. [color=#ff0000]Für x=0[/color] wäre ein [color=#ff0000]unendlich großer y-Wert[/color] zu erwarten. Das sieht man auch am Graphen, der unendlich nach oben verläuft, je näher er der y-Achse (d.h. dem Wert x=0) kommt. Unendlich ist nun kein Wert ist, mit dem sich mathematisch arbeiten lässt. Daher ist der x-Wert Null hier nicht zugelassen. f ist [color=#ff0000]an der Stelle x=0 nicht definiert[/color] (n.d.). Es gilt also:[br][br][math]lim_{x\rightarrow0}f\left(x\right)=\infty[/math] und für die Definitionsmenge: [math]D=\mathbb{R}\backslash\left\{0\right\}[/math] Die Stelle x=0 nennt man auch [color=#ff0000]Definitionslücke[/color].

Als nächstes untersuchen wir, wie sich der Graph auf der linken Seite von der y-Achse verhält, d.h. für negative x.[br]Das folgende Applet zeigt eine Wertetabelle zur Funktion [math]f\left(x\right)=\frac{1}{x}[/math]. Die y-Werte auf der linken Seite sind noch falsch (da alle null). Erschließen Sie die richtigen Werte [b]ohne zu rechnen[/b] aus den angegebenen y-Werten der rechten Seite und tragen Sie sie in die Tabelle ein. Immer wenn Ihr eingetragener Wert richtig ist, erscheint der entsprechende Punkt im Koordinatensystem.

Damit wissen wir nun, wie der Graph von [math]f\left(x\right)=\frac{1}{x}[/math] aussieht.[br]Für [math]x\rightarrow\pm\infty[/math], d.h. ganz rechts und ganz links nähert sich der Graph der x-Achse, d.h. die x-Achse ist eine [color=#ff0000]waagerechte Asymptote[/color]. [br]Für [math]x\rightarrow0[/math] nähert sich der Graph der Y-Achse, wobei x=0 eine Definitionslücke darstellt. Die y-Achse ist eine [color=#ff0000]senkrechte Asymptote[/color]. Die Stelle x=0 sieht deshalb merkwürdig aus, weil der Graph in zwei getrennte Teile - einen rechts und einen links von der y-Achse - zerfällt. So etwas kommt immer an den [color=#ff0000]Stellen[/color] vor, [color=#ff0000]an denen durch Null geteilt[/color], d.h. [color=#ff0000]der Nenner[/color] der Funktion [color=#ff0000]null[/color] wird. Solche Stellen nennt man [color=#ff0000]Polstellen[/color]. An Polstellen, und nur an Polstellen (!) liegen, und zwar immer, senkrechte Asymptoten vor.

Vergleichen wir die Funktionen [math]y=\frac{1}{x^2}[/math] und [math]y=\frac{1}{x}[/math]. Unten finden Sie dazu Wertetabellen, in deren linke Hälften noch die richtigen y-Werte eingetragen werden müssen. Erschließen Sie diese y-Werte aus den y-Werten der jeweiligen rechten Seite, [b]ohne zu rechnen[/b].[br][br]Immer wenn Sie einen richtigen Wert eintragen, erscheint der entsprechende Punkt im Koordinatensystem, und nach und nach ergeben sich die beiden Funktionsgraphen.

Wir sehen: An den Stelle x = 0 haben beide Funktionen eine Definitionslücke und jeweils eine Polstelle. Diese sehen aber verschieden aus:[br][br] [math]y=\frac{1}{x}[/math] hat eine [color=#ff0000]Polstelle erster Ordnung (ersten Grades)[/color]. Hier wechselt der Graph beim Übergang von links nach rechts das Vorzeichen. Man spricht von [color=#ff0000]Polstelle mit Vorzeichenwechsel [/color](VZW).[br][br][math]y=\frac{1}{x^2}[/math] hat eine [color=#ff0000]Polstelle zweiter Ordnung (zweiten Grades)[/color]. Hier wechselt der Graph beim Übergang von links nach rechts das Vorzeichen nicht. Man spricht von [color=#ff0000]Polstelle ohne Vorzeichenwechsel [/color](VZW).[br]

Es gibt auch dreifache oder vierfache Pole usw. Dabei gilt, dass [color=#ff0000]ungerade Pole[/color] wie einfache Pole aussehen und [color=#ff0000]gerade Pole[/color] wie zweifache Pole aussehen. [br][br]Als Ergebnis halten wir fest:

Wir wissen bereits: Polstellen liegen bei den x-Werten vor, bei denen der Nenner null, d.h. bei denen durch Null geteilt wird.[br][br][u]Beispiele:[/u] [math]f\left(x\right)=\frac{1}{x-3}[/math] hat einen einfachen Pol mit VZW an der Stelle x = 3.[br][br] [math]g\left(x\right)=\frac{1}{\left(x+4\right)^2}[/math] hat einen zweifachen Pol ohne VZW an der Stelle x = -4.[br][br] [math]h\left(x\right)=\frac{1}{\left(x-6\right)^7}[/math] hat eine siebenfache Pol mit VZW an der Stelle x = 6.[br][br]Natürlich kann eine gebrochen-rationale Funktion auch verschiedene Polstellen gleichzeitig aufweisen.[br][br][u]Beispiel:[/u] [math]f\left(x\right)=\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)^2}[/math] hat einen einfachen Pol mit VZW an der Stelle x = -1 und einen zweifachen Pol ohne VZW an der Stelle x = 2. Der Graph hat also zwei senkrechte Asymptoten (und für [math]x\rightarrow\pm\infty[/math] eine waagerechte Asymptote). Dies zeigt sich am Graphen:

Eine gebrochen-rationale [color=#ff0000]Funktion hat einen ein-, zwei-, dreifachen usw. Pol[/color] an der Stelle, an der ihr [color=#ff0000]Nenner eine ein-, zwei-, dreifache usw. Nullstelle[/color] hat. Machen Sie sich dies auch am letzten Beispiel klar.[br][br]Sie können nun anhand des folgenden Arbeitsblattes prüfen, ob Sie dieses Kapitel verstanden haben.

Für die Nullstellen von gebrochen-rationalen Funktionen gilt dasselbe wie für die Nullstellen ganzrationaler Funktionen. Auch hier gibt es [color=#ff0000]mehrfache Nullstellen[/color], die jeweils verschieden aussehen. [br][br]Das Wesentliche können Sie wiederholen, indem Sie [url=https://www.geogebra.org/m/ue2cYWZt]hier klicken[/url].[br][br]Die Berechnung erfolgt natürlich ebenso durch Nullsetzen des Funktionsterms. Dabei stößt man im Allgemeinen auf eine [color=#ff0000]Bruchgleichung[/color], die sich durch [color=#ff0000]Multiplikation mit dem Hauptnenner[/color] lösen lässt.[br][br][br][b]Beispiele[/b]:[br][br][b]1)[/b] [math]f\left(x\right)=\frac{x^3-3x^2}{x-1}[/math] [math]\frac{x^3-3x^2}{x-1}=0[/math] | [math]\cdot\left(x-1\right)[/math][br] [math]x^3-3x^2=0[/math][br] [math]x^2\left(x-3\right)=0[/math][br] [math]x^2=0[/math] oder [math]x-3=0[/math][br] [math]x_1=0[/math] (2-fach); [math]x_2=3[/math] (1-fach)[br][br] Bei x = 0 berührt der Graph also die x-Achse und bei x = 3 schneidet er sie:

[b]2)[/b] [math]f\left(x\right)=x+2+\frac{1}{x-2}[/math] [math]x+2+\frac{1}{x-2}=0[/math] | [math]\cdot\left(x-2\right)[/math][br] [math]\left(x+2\right)\left(x-2\right)+1=0[/math] [br] [math]x^2-3=0[/math] | [math]+3[/math][br] [math]x^2=3[/math] | [math]\sqrt{ }[/math][br] [math]x_1=-\sqrt{3}[/math]; [math]x_2=\sqrt{3}[/math] (jeweils 1-fach)[br][br] Der Graph schneidet an beiden Nullstellen jeweils die x-Achse:

Testen und Üben Sie Ihr Verständnis anhand der folgenden Aufgaben:

Wir wissen von ganzrationalen Funktionen bereits, dass für [math]x\rightarrow\pm\infty[/math] der Summand mit dem höchsten Exponenten das Verhalten dominiert und es daher genügt, ihn allein zu betrachten.[br][br]Wem das nicht mehr klar ist, der kann [url=https://www.geogebra.org/m/CpwwCp2k]hier klicken[/url], um es zu wiederholen.[br][br]Dasselbe Prinzip machen wir uns auch bei gebrochen-rationalen Funktionen zunutze, wenden es dabei aber auf Zähler und Nenner getrennt an. Dabei können grundsätzlich drei verschiedene Fälle vorkommen:[br][br][b][br][br][br]1. Fall:[/b] Zählergrad > Nennergrad[br][br][u]Beispiel:[/u] [math]f\left(x\right)=\frac{2x^3-5x+1}{x^2-3x}[/math]; [math]lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x^3-5x+1}{x^2-3x}=lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x^3}{x^2}[/math], [size=85]denn im Zähler und Nenner [br] dominieren jeweils die Summanden mit dem höchsten Exponenten das Verhalten im Unendlichen.[/size][br] [math]lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x^3}{x^2}=lim_{x\rightarrow+\infty}2x=\pm\infty[/math] [size=85](im vorletzten Schritt wurde gekürzt)[/size][br]

[b][br][br][br]2. Fall:[/b] Zählergrad = Nennergrad[br][br][u]Beispiel:[/u] [math]f\left(x\right)=\frac{-2x^3+12x^2-1}{4x^3+2x^2-5x}[/math]; [math]lim_{x\rightarrow\pm\infty}f\left(x\right)=lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{-2x^3+12x^2-1}{4x^3+2x^2-5x}=lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{-2x^3}{4x^3}=lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}[/math][br][size=85] D.h. im Unendlichen (ganz links bzw. ganz rechts) nähert sich der Graph dem Wert[color=#ff0000] y = -1/2[/color]. Der Graph hat also [br] eine [color=#ff0000]waagerechte Asymptote[/color]. Waagerechte Asymptoten kommen bei ganzrationalen Funktionen nicht vor, sind also[br] etwas Neues.[/size]

[b][br][br][br]3. Fall:[/b] Zählergrad < Nennergrad[br][br][u]Beispiel:[/u] [math]f\left(x\right)=\frac{3x-4}{x^2-2x+7}[/math]; [math]lim_{x\rightarrow\pm\infty}f\left(x\right)=lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{3x-4}{x^2-2x+7}=lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{3x}{x^2}=lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{3}{x}=\pm0=0[/math][br][size=85] D.h. im Unendlichen (ganz links bzw. ganz rechts) nähert sich der Graph der x-Achse ([color=#ff0000]y = 0[/color]), die damit eine [br] [color=#ff0000]waagerechte Asymptote[/color] ist. Das [math]\pm[/math] [/size][size=85]lässt erkennen, dass der Graph sich [color=#ff0000]rechts von oben[/color] und [color=#ff0000]links von unten[/color] der x- [br] Achse nähert.[/size]

Sie können nun überprüfen, ob Sie es verstanden haben, indem Sie folgendes Aufgabenblatt bearbeiten.

Wir können bereits das Verhalten von gebrochen-rationalen Funktionen im Unendlichen untersuchen. Dabei haben wir drei Fälle unterschieden: Zählergrad>Nennergrad, Zählergrad=Nennergrad und Nennergrad<Zählergrad. [br][br]Im ersten Fall, Zählergrad>Nennergrad, gibt es in seltenen Fällen einen besonderen Spezialfall: [color=#ff0000]Ist der Zählergrad genau um 1 größer als der Nennergrad, so liegt eine schräge Asymptote vor.[/color] Das untersuchen wir nun genauer:

In diesem Fall lässt sich die Funktion f immer folgendermaßen umschreiben:[br][br] [math]f\left(x\right)=\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}=mx+t+\frac{r}{q\left(x\right)}[/math][br][br]D.h. man kann f in eine Summe aus einem linearen Funktionsterm mx + t und einem Restbruch umformen.[br][br][b]Beispiel:[/b] [math]f\left(x\right)=\frac{2x^2-3x+1}{x-2}[/math] hier liegt der Spezialfall vor, weil der Zählergrad 2 und der Nennergrad 1 ist.[br][br]Nun formen wir f um, und zwar mit Hilfe der Polynomdivision:

Bei der Polynomdivision bleibt hier ein [color=#0000ff]Rest 3[/color] übrig. Dieser Rest muss auch noch durch (x-2) geteilt und dazu geschrieben werden, was im Ergebnis den Term [math]\frac{3}{x-2}[/math] ergibt.[br][br]Damit haben wir die Funktion folgendermaßen umgeschrieben:[br][br][math]f\left(x\right)=\frac{2x^2-3x+1}{x-2}=2x+1+\frac{3}{x-2}[/math][br][br]mit dem linearen Term [math]2x+1[/math] und dem Restbruch [math]\frac{3}{x-2}[/math].

Man kann durch eine einfache Rechnung mit Bruchtermen die Probe machen, ob das Ergebnis stimmt:[br][br][math]2x+1+\frac{3}{x-2}=\frac{\left(2x+1\right)\left(x-2\right)}{x-2}+\frac{3}{x-2}=\frac{\left(2x+1\right)\left(x-2\right)+3}{x-2}=\frac{2x^2-4x+x-2+3}{x-2}=\frac{2x^2-3x+1}{x-2}[/math][br][br]Wir sehen, dass wir wieder beim Ausgangsterm ankommen und beide Terme tatsächlich äquivalent sind.

Aber was hat dieses Ergebnis mit einer schrägen Asymptote beim Verhalten im Unendlichen zu tun? Dazu betrachten wir das Verhalten im Unendlichen unserer Funktion f:[br][br][math]lim_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)=lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2x^2-3x+1}{x-2}=lim_{x\rightarrow\infty}\left(2x+1+\frac{3}{x-2}\right)=lim_{x\rightarrow\infty}\left(2x+1\right)=\infty[/math][br][br]Im vorletzten Schritt haben wir verwendet, dass der Bruch [math]\frac{3}{x-2}[/math] für [math]x\rightarrow\infty[/math] gegen null geht. Der vorletzte Term bedeutet, dass für [math]x\rightarrow\infty[/math] unsere Funktion f sich näherungsweise so verhält wie die Gerade mit der Gleichung[math]y=2x+1[/math]. Der Graph von f nähert sich für große x immer näher dieser Geraden an, die damit eine Asymptote, und zwar eine [color=#ff0000]schräge Asymptote[/color] darstellt.[br][br]Sie können sich den Sachverhalt in folgendem Applet genauer ansehen. Mit dem Schieberegler können Sie x allmählich immer größer werden lassen. Zugleich werden automatisch die zu jedem x-Wert zugehörigen Punkte von f sowie von der Geraden [color=#ff0000]y = 2x + 1[/color] in das Koordinatensystem eingetragen. [br][br]Achten Sie auf Folgendes:[br][br][list][*]Die y-Werte beider Punkte unterscheiden sich mit zunehmenden x immer weniger voneinander, weil die Werte des Bruches [math]\frac{3}{x-2}[/math] für zunehmende Werte von x immer kleiner werden.[br][/*][*]Daher liegen die Punkte von f und der [color=#ff0000]Geraden[/color] für zunehmende x immer näher beieinander. D.h. der Graph von f nähert sich der Geraden mit zunehmenden x immer näher an. Die Gerade ist daher eine [color=#ff0000]schräge Asymptote[/color].[/*][/list]

Testen und vertiefen Sie nun Ihr Verständnis anhand der folgenden Übungsaufgaben.

Bei ganzrationalen Funktionen kamen wir zu dem Ergebnis, dass Punktsymmetrie zum Ursprung vorliegt, wenn nur ungerade Exponenten auftreten, und dass Achsensymmetrie zur y-Achse vorliegt, wenn nur gerade Exponenten auftreten.[br][br]Wer das noch einmal verstehen möchte, kann [url=https://www.geogebra.org/m/Xm9z82yx]hier klicken[/url], um es zu wiederholen.[br][br]Bei gebrochen-rationalen Funktionen gilt [color=#ff0000]dieselbe Regel [/color][u][color=#ff0000]nicht[/color]![/u] Allerdings führt [color=#ff0000]aber dieselbe Überlegung[/color] wie bei ganzrationalen Funktionen auch hier zum Ziel.[br][br]Betrachten Sie die folgenden Wertetabellen. Die y-Werte auf der linken Seite dieser Tabellen sind nicht korrekt (da alles Nullen). Tragen Sie die richtigen y-Werte [u]ohne zu rechnen[/u] ein, indem Sie sie aus den y-Werten der rechten Tabellenseite erschließen.[br][br]Erkunden Sie auf diese Weise zunächst die Symmetrie der ersten beiden (ganzrationalen) Funktionen. Die dritte Funktion ist gebrochen-rational und enthält die beiden ersten Funktionen als Nenner bzw. Zähler. Verwenden Sie nun die Ergebnisse der ersten beiden Tabellen, um [u]ohne zu rechnen[/u] die y-Werte der linken Seite aus denen der rechten Seite zu erschließen.

Die gebrochen-rationale Funktion f muss also punktsymmetrisch zum Ursprung sein. Wir sehen also allgemein:[br][br]Ist der Zähler achsensymmetrisch zur y-Achse (A) und der Nenner punktsymmetrisch zum Ursprung (P), so ist die gebrochen-rationale Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung (P).[br][br]Entsprechende Überlegungen kann man auch für andere Symmetrien von Zähler und Nenner anstellen. Als Ergebnis halten wir in Kurzschreibweise fest:[br][br] [math]\frac{A}{P}=P[/math] ; [math]\frac{P}{A}=P[/math] ; [math]\frac{P}{P}=A[/math] ; [math]\frac{A}{A}=A[/math][br][br]Ist von [color=#ff0000]Zähler oder Nenner[/color] schon einer von beiden [color=#ff0000]ohne Symmetrie[/color] (oder auch beide), so liegt auch in bei der [color=#ff0000]gebrochen-rationalen Funktion keine Symmetrie[/color] vor.

Es geht natürlich nicht darum, diese "Formeln" wie ein Papagei auswendigzulernen. Viel wichtiger ist, den Gedanken verstanden zu haben, der zu diesem Ergebnis geführt hat.[br][br]Man muss auch in der Lage sein, rechnerisch exakt eine Symmetrie nachzuweisen. Wir wissen bereits: [br][br] Achsensymmetrie zur y-Achse liegt vor, wenn gilt: [math]f\left(-x\right)=f\left(x\right)[/math].[br] Punktsymmetrie zum Ursprung liegt vor, wenn gilt: [math]f\left(-x\right)=-f\left(x\right)[/math][br][br]Deshalb lässt sich eine Symmetrie rechnerisch nachweisen, indem man für x nun -x einsetzt in f. Versuchen wir dies einmal mit unserem Beispiel von oben:[br][br][u]Beispiel:[/u] [math]f\left(x\right)=\frac{x^2-3}{2x^3-x}[/math] : [math]f\left(-x\right)=\frac{\left(-x\right)^2-3}{2\left(-x\right)^3-\left(-x\right)}=\frac{x^2-3}{-2x^3+x}=\frac{x^2-3}{-\left(2x^3-x\right)}=-\frac{x^2-3}{2x^3-x}=-f\left(x\right)[/math][br][br]Auch hier kommen wir zu dem Ergebnis, dass f punktsymmetrisch zum Ursprung ist.[br][br][br][b][color=#ff0000]Beachten Sie:[/color] [/b]Die letzte Rechnung ist eigentlich genau derselbe Gedanke, wie wir ihn oben bei den Wertetabellen durchgeführt haben. Beide Male haben wir untersucht, wie sich der errechnete Funktionswert ändert, wenn wir statt einem x (rechte Seite der Tabelle) das entsprechende -x (linke Seite der Tabelle) einsetzen.

Nachdem wir nun in der Lage sind, verschiedene Eigenschaften gebrochen-rationaler Funktionen zu untersuchen, wollen wir nun versuchen, anhand unserer Ergebnisse den Funktionsgraphen zu skizzieren. Dies verdeutlichen wir an einem Beispiel.[br][br]Wir betrachten die Funktion [math]f\left(x\right)=\frac{x^2+2x+1}{x^3-3x^2}[/math] und untersuchen an ihr alle uns bekannten Eigenschaften.[br][br][b]1. Definitionsbereich und Polstellen.[/b][br][br]Wir untersuchen, an welchen Stellen der Nenner Null wird: [math]x^3-3x^2=0[br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][br][/math][br] [math]x^2\left(x-3\right)=0[/math] [br] [math]x^2=0[/math] oder [math]x-3=0[/math][br] [math]x_1=0[/math] (2-fach); [math]x_2=3[/math] (1-fach)[br]Der Definitionsbereich lautet: [math]D=\mathbb{R}\backslash\left\{0;3\right\}[/math]. An der Stelle [color=#0000ff]x = 0[/color] hat der Graph eine [color=#0000ff]2-fache Polstelle ohne VZW[/color] und an der Stelle [color=#38761d]x = 3[/color] eine [color=#38761d]1-fache Polstelle mit VZW[/color].[br][br][br][b]2. Symmetrie[br][/b][br]Schon der Nenner enthält gerade und ungerade Exponenten und lässt daher keine Symmetrie erkennen. Dasselbe gilt deshalb auch für f selbst.[br][br][br][b]3. Nullstellen[br][/b][br]Wir setzen den Funktionsterm gleich null: [math]f\left(x\right)=0[/math][br] [math]\frac{x^2+2x+1}{x^3-3x^2}=0[/math] |[math]\cdot\left(x^3-3x^2\right)[/math][br] [math]x^2+2x+1=0[/math][br] MNF: [math]x_1=-1[/math] und [math]x_2=-1[/math] [br][color=#ff0000]x = -1[/color] ist also eine [color=#ff0000]zweifache Nullstelle ohne VZW[/color], d.h. dort berührt der Graph die x-Achse.[br][br][br][b]4. Verhalten im Unendlichen[br][/b][br][math]lim_{x\rightarrow\pm\infty}f\left(x\right)=lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{x^2+2x+1}{x^3-3x^2}=lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{x^2}{x^3}=lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{1}{x}=\pm0[/math][br]Der Graph nähert sich auf der rechten Seite von oben (+0) der x-Achse und auf der linken Seite von unten (-0). Die x-Achse ist also eine waagerechte Asymptote.[br][br][br]Damit haben wir alles beisammen, um den Funktionsgraphen zu skizzieren. Im folgenden Applet sind alle Ergebnisse eingetragen. Drücken Sie auf den Play-Button, um das Skizzieren des Graphen zu verfolgen.

Abschließend finden Sie ein Aufgabenblatt, mit dem Sie das Untersuchen und Skizzieren von gebrochen-rationalen Funktionen üben können.

Wir betrachten die Funktion f mit [math]f\left(x\right)=\frac{x^2-4x+3}{x^2-3x+2}[/math] . Wir bestimmen den Definitionsbereich, indem wir die Nullstellen des Nenners ermitteln:[br] [math]x^2-3x+2=0[/math][br] MNF: [math]x_1=1[/math] (einfach); [math]x_2=2[/math] (einfach)[br][br]Der Definitionsbereich lautet damit: [math]D=\mathbb{R}\backslash\left\{1;2\right\}[/math]. f hat also an den Stellen [color=#ff0000]x = 1[/color] und [color=#ff0000]x = 2[/color] jeweils eine einfache [color=#ff0000]Polstelle[/color], d.h. jeweils eine [color=#ff0000]senkrechte Asymptote[/color] mit VZW.[br][br]Lassen wir Geogebra einmal die Funktion zeichnen. Klicken Sie dazu den Play-Button:

Das ist überraschend! Es gibt trotz unserer Rechnung bei x = 1 gar keine Polstelle! Wie kann das sein?![br][br]Was hier passiert, kann man verstehen, indem man auch die Nullstellen von f berechnet:[br][br] [math]f\left(x\right)=0[/math][br] [math]\frac{x^2-4x+3}{x^2-3x+2}=0[/math] | [math]\cdot\left(x^2-3x+2\right)[/math][br] [math]x^2-4x+3=0[/math][br] MNF: [math]x_1=1[/math] (einfach); [math]x_2=3[/math] (einfach)[br][br] Aha! x = 1 ist also auch eine Nullstelle. Nun kann ein und dieselbe Stelle nicht zugleich Null- und Polstelle sein. Was von beiden ist sie denn nun? Das sieht man, wenn man nun Zähler und Nenner jeweils in [color=#ff0000]Linearfaktorzerlegung[/color] umschreibt:[br][br] [math]f\left(x\right)=\frac{x^2-4x+3}{x^2-3x+2}=\frac{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\frac{x-3}{x-2}[/math][br][br]Im letzten Schritt haben wir den Linearfaktor (x-1) gekürzt. Und jetzt ist die Sache klar: Weil sich dieser Linearfaktor herauskürzt, ist x = 1 weder eine Null- noch eine Polstelle![br][br]Weil der Ausgangsterm aber in der ungekürzten Fassung gegeben war und der Nenner dort zwei Nullstellen hatte, bleiben Mathematiker dabei zu sagen, dass der Definitionsbereich [math]D=R\backslash\left\{1;2\right\}[/math] lautet. Die Stelle x = 1 bleibt daher eine Definitionslücke, obwohl hier keine Polstelle vorliegt. Mathematiker sprechen stattdessen von einer [color=#ff0000]hebbaren Lücke[/color].[br]

Sollte beim Berechnen der Polstellen dieselbe Stelle auftreten wie beim Berechnen der Nullstellen, so ist Vorsicht geboten. Dann zeigt ein Umschreiben in die Linearfaktorzerlegung von Zähler und Nenner, was hier tatsächlich vorliegt.[br][br]Die betreffende Stelle ist dann auf jeden Fall eine Definitionslücke. Es kann aber ansonsten noch immer alles an dieser Stelle vorliegen: Polstelle, Nullstelle (als hebbare Lücke); normale Stelle (als hebbare Lücke).[br][br][b]Beispiele:[br][/b][br]1) [math]f\left(x\right)=\frac{\left(x-2\right)\left(x+3\right)^2}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}=\frac{\left(x-2\right)\left(x+3\right)}{\left(x+1\right)}[/math] an der Stelle x = -3 liegt eine Nullstelle (als hebbare Lücke) vor.[br][br]2) [math]f\left(x\right)=\frac{\left(x-5\right)\left(x+2\right)}{\left(x-10\right)\left(x-5\right)^2}=\frac{\left(x+2\right)}{\left(x-10\right)\left(x-5\right)}[/math] an der Stelle x = 5 liegt eine einfache Polstelle mit VZW vor.[br][br]3) [math]f\left(x\right)=\frac{\left(x+1\right)\left(x-4\right)^3}{\left(x-1\right)\left(x-4\right)^3}=\frac{x+1}{x-1}[/math] an der Stelle x = 4 liegt weder eine Null- noch eine Polstelle, sondern [br] eine normale Stelle (als hebbare Lücke) vor.[br][br]Hebbare Lücken kennzeichnet man am Graphen, indem man an dieser Stelle eine Lücke lässt und diese einkringelt. Der Graph der letzten Funktion 3) sieht damit folgendermaßen aus: