Eukleidova věta o výšce a věta k ní obrácená

Hypotéza:

Eukleidova věta o výšce (formulace 1):

[size=150][color=#1e84cc]V [/color][color=#980000]každém [/color][color=#980000]pravoúhlém[/color][color=#1e84cc] trojúhelníku je obsah čtverce sestrojeného nad výškou k přeponě roven obsahu obdélníka, jehož strany tvoří úseky přepony rozdělené touto výškou. ([/color][math]v^2=c_a\cdot c_b[/math][color=#1e84cc])[/color][/size]

Je dobré si uvědomit, že věta má formu IMPLIKACE (stejně jako věta Pythagorova):

Eukleidova věta o výšce (formulace 2):

[size=150][color=#980000]Je-li[/color][color=#1e84cc] daný trojúhelník [/color][color=#980000]pravoúhlý[/color][color=#1e84cc], [/color][color=#980000]potom[/color][color=#1e84cc] je obsah čtverce sestrojeného nad výškou k přeponě roven obsahu obdélníka, jehož strany tvoří úseky přepony rozdělené touto výškou. ([/color][math]v^2=c_a\cdot c_b[/math][color=#1e84cc])[/color][/size]

Důkaz 1 (Eukleidův důkaz pomocí podobnosti trojúhelníků):

Důkaz provedeme ve dvou krocích:[br][list=1][*]Dokážeme větu, že [b][color=#1e84cc]výška na přeponu rozdělí pravoúhlý trojúhelník na dva trojúhelníky jemu podobné[/color][/b]. Tato věta je v Eukleidových Základech [url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVI/propVI8.html]větou VI.8[/url][/*][*]Z této věty nyní snadno vyvodíme požadovaný vztah [math]v^2=c_a\cdot c_b[/math]. Viz [url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVI/propVI8.html]důsledek[/url] věty VI.8 v Základech[/*][/list]

[list][*]Krok 1 ([url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVI/propVI8.html]Základy VI/8[/url]):[br][/*][/list]

[list][*]Krok 2 ([url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVI/propVI8.html]Základy - důsledek věty VI/8[/url]):[br][/*][/list]

Důkaz 2 (pomocí přeskupení ploch):

[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_mean_theorem#Proof]viz Wikipedie [/url]

Důkaz 3 (pomocí shodnosti trojúhelníků):

Věta obrácená k Eukleidově větě o výšce (kritérium pravoúhlosti trojúhelníku):

Stejně jako pro Pythagorovu větu i zde existuje věta obrácená:[br][br][size=150][color=#980000]Pokud[/color][color=#1e84cc] v daném trojúhelníku platí, že obsah čtverce sestrojeného nad výškou je roven obsahu obdélníka, jehož strany tvoří úseky strany rozdělené touto výškou ([/color][math]v^2=c_a\cdot c_b[/math][color=#1e84cc]), [/color][color=#980000]potom[/color][color=#1e84cc] je tento trojúhelník [/color][color=#980000]pravoúhlý[/color][color=#1e84cc] s pravým úhlem proti této straně.[/color][/size]

Tato obrácená věta se používá, pokud potřebujeme dokázat, že daný trojúhelník je pravoúhlý (jako [i][color=#1e84cc]kritérium pravoúhlosti trojúhelníku[/color][/i]) [url=http://ggbtu.be/m2719731]viz příklad[/url]

Důkaz věty obrácené:

Poznámka:

Eukleidova věta o výšce je přisuzována Eukleidovi, který ji vyslovil jakožto [b][url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVI/propVI8.html]důsledek[/url][/b] tvrzení VI/8 svých [url=https://www.geogebra.org/material/simple/id/2625155]Základů[/url] (viz též [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_mean_theorem]wikipedie[/url]). Zde se pojímá vztah [math]v^2=c_ac_b[/math] jako [color=#1e84cc][i]geometrický průměr[/i][/color] dvou čísel - [math]v=\sqrt{c_ac_b}[/math]. [i][color=#1e84cc]Přeměna mnohoúhelníku na čverec[/color][/i] se ale objevuje už ve [url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookII/propII14.html]II/14[/url].[br]Viz příklad "[url=http://ggbtu.be/m2663735]Přeměna obdélníku na čtverec, konstrukce odmocniny, geometrický průměr[/url]"