GEOGEBRA 3D NO ENSINO MÉDIO: UMA POSSIBILIDADE
No ensino da Geometria Espacial é notável a dificuldade de nossos alunos em atividades que necessitam a mobilização de habilidades espaciais e nas quais é exigida a compreensão da representação bidimensional de objetos tridimensionais. Este estudo apresenta uma sequência didática que explora conceitos da Geometria Espacial através da utilização do software de geometria dinâmica GeoGebra. A proposta tem como objetivo provocar o desenvolvimento do pensamento geométrico espacial, nisso tirando-se proveito dos recursos de representação que se tem no software, especialmente aquele que diz respeito a interação dinâmica entre as representações do objeto tridimensional e diferentes planos de corte. São dez atividades, em crescente nível de dificuldade e envolvendo diferentes conceitos da Geometria Espacial.
Table of Contents
- ATIVIDADE 1 - EXPLORANDO O CUBO
- Atividade 1
- ATIVIDADE 2 - CORTANDO O CUBO
- Atividade 2
- ATIVIDADE 3 - CORTANDO O CUBO
- Atividade 3
- ATIVIDADE 4 - SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO
- Atividade 4
- ATIVIDADE 5 - CRIANDO SÓLIDOS
- Atividade 5
- ATIVIDADE 6 e 7- SÓLIDOS INSCRITOS - CILINDRO E ESFERA
- Atividade 6 e 7: ESFERA INSCRITA NO CILINDRO
- ATIVIDADE 8 - ESFERA INSCRITA NO CONE
- Atividade 8: ESFERA INSCRITA NO CONE
- ATIVIDADE 9 - FUNÇÃO ÁREA
- Atividade 9: ÁREA DA SECÇÃO DADA PELO PLANO PERPENDICULAR A DIAGONAL DO CUBO
- ATIVIDADE 10 - FUNÇÃO VOLUME
- Atividade 10: CAIXA DE VOLUME MÁXIMO
- A PROPOSTA DIDÁTICA
- A autora e a proposta
Atividade 1
Construa um cubo na janela 3D do GeoGebra e nomeie os vértices do cubo de acordo com a figura. Rotacione o sólido e, utilizando as movimentações necessárias, siga as orientações abaixo:[br]
A) Pinte de verde as arestas paralelas à aresta CD.[br]B) Que faces contém o vértice B? Pinte-as de azul.[br]C) Construa em laranja uma reta perpendicular a face ADEH passando pelo centro desta face.[br]D) Marque em vermelho, se houver, a intersecção entre BCFG e CDGH.[br]E) Construa em amarelo uma reta paralela ao plano EFGH e que não contém nenhuma aresta do cubo.
Atividade 2
CORTANDO O CUBO
[b][i]“Secção é a figura plana resultante da intersecção entre um plano e o cubo.”[/i][/b][b] [br][/b][br]Que secção é obtida quando cortamos um cubo pelo plano dado pelos pontos indicados? Construa cada situação no GeoGebra 3D, movimente a construção e identifique a região plana obtida.
a) pontos médios dos segmentos AD, EH e FG.
b) vértices D, F e H.
c) vértice D e pelos pontos médios dos segmentos EF e FG.
d) pontos médios dos segmentos EF, FG e BF.
e) pontos médios dos segmentos AE, FG e BF.
f) pontos médios de EH, GH e AB.
g) pontos médios das arestas AE e CG e pelo vértice B.
h) Construa um ponto I na aresta EF; construa o plano determinado pelos pontos A, D e I. Construa a intersecção deste plano com o cubo, observe e descreva a secção formada, movimentando o ponto I.
Exercício: Calcule a área da secção dada pelo plano criado no exercício h, quando I é o ponto médio da aresta EF. Considere que o segmento EF mede 2cm.
[i][size=85](Obs.: o recurso “Vista 2D” do plano de corte ajuda na visualização da secção)[/size][/i]
Atividade 3
Na animação, três pontos determinam um plano que intersecta o cubo. Movimente os pontos e analise os diferentes triângulos determinados pelos vértices em destaque.
a) Desenhe abaixo todas as secções possíveis e nomeie-as, descrevendo as características de cada situação (quando cada uma acontece).
[b]Exercício:[/b][br]Descreva as propriedades da secção de maior área e calcule essa área se o cubo tem aresta 1cm?
Atividade 4
[i][b]“Sólidos de revolução [/b]são gerados pela rotação de uma forma plana, chamada forma geratriz, ao redor de um eixo. São formados pelo conjunto de posições sucessivas que a forma geratriz ocupa no espaço[b].”[/b][/i]
Movimente o seletor e observe:
Que sólido é gerado pela rotação das figuras abaixo ao redor de um dos eixos coordenados? (Construa cada situação no plano XOZ ou XOY do GeoGebra 3D e movimente-a em torno do eixo sob o qual foi construída).
Atividade 5
A partir de figuras planas crie os sólidos de revolução abaixo no GeoGebra 3D:
Para cada sólido identifique a figura geratriz e qual o eixo de rotação escolhido.
Usando a revolução de figuras planas no espaço, construa um cilindro e um cone inscrito.
Sabendo que o retângulo que origina o cilindro tem dimensões 3 e 4 cm., calcule a geratriz e a área lateral do cone inscrito.
Atividade 6 e 7: ESFERA INSCRITA NO CILINDRO
- Construa um círculo na janela 2D utilizando a ferramenta “Círculo dados centro e um de seus pontos”;[br]- Na janela 3D, construa uma reta perpendicular ao plano da base passando pelo centro do círculo.[br]- Utilize esse círculo e esta reta como base para criar um cilindro reto;[br]- Em seguida, construa uma esfera inscrita neste cilindro.
Exercício:
Se a base do cilindro tem raio 2cm:
1) Qual será o raio da esfera?[br]
2) Qual será a altura do cilindro?[br]
3) Qualquer cilindro pode ser circunscrito a uma esfera? Por quê?
- Em seguida, construa um plano móvel paralelo à base do cilindro. [br]- Interseccione o plano com a esfera e pinte o círculo de intersecção de vermelho.
- Movimente o plano e analise a variação da área do círculo de intersecção. Descreva esta variação com suas palavras.
Ainda considerando que o cilindro tem raio 2cm:
Qual será a área do círculo máximo? [br][br]
Qual a área do círculo quando a distância entre a base do cilindro e o plano de corte é 1? [br][b]Dica:Construa o triângulo retângulo que tem hipotenusa igual ao raio da esfera.[/b]
Atividade 8: ESFERA INSCRITA NO CONE
PASSO A PASSO
1. Construa um círculo na janela 2D utilizando a ferramenta “Círculo dados centro e um de seus pontos”;[br]2. Da mesma forma que no exercício anterior, utilize esse círculo como base para criar um cone reto.[br]3. Construa um plano meridiano do cone, interseccione este plano com o cone e exiba sua vista 2D.[br]4. Para inscrever uma esfera no cone é interessante usar a Vista 2D do plano meridiano. Construa no plano meridiano um círculo inscrito no triângulo. Dica: Para construir o centro do círculo utilize a ferramenta “Bissetriz de um ângulo”.[br]5. Tendo o centro do círculo, construa a esfera inscrita neste cone reto.
6. Movimento a sua construção deforma a “enxergar” dois círculos concêntricos e desenhe essa situação, identificando qual o ponto de vista utilizado.
7. Como fazer para que a distância entre estes dois círculos diminua? Movimente o raio e a altura e descreva o procedimento usado.
Exercício:
a) Dado um cone de revolução gerado por um triângulo retângulo de catetos 6 e 8cm, calcule[br]o raio da esfera inscrita neste cone. (Sugestão: o arquivo construído pode auxiliar na solução)
b) Se os raios do cone e da esfera têm, respectivamente, 2 e 1cm, qual será a altura do cone? [i] [/i]
Atividade 9: ÁREA DA SECÇÃO DADA PELO PLANO PERPENDICULAR A DIAGONAL DO CUBO
Construa um plano de corte com movimento que produza a seguinte sequência de secções no cubo.[br](Obs.: no início e no final do movimento a secção é um triângulo equilátero)
a) Como você realizou esta construção? Descreva os passos utilizados.
b) Como são as formas das secções formadas?Descreva-as.
c) Em algum momento a secção não é um polígono regular? Quando? Ilustre essa situação e descreva em que momento isto acontece.
d) Como é a variação da área da seção, conforme a seção se afasta do vértice F do cubo?
e) Exiba a vista 2D do plano de corte e determine qual a secção de maior área e quando[br]isto acontece?
f) Construa o gráfico que representa a variação da área das secções na Janela de Visualização 2. Após, analise se a sua resposta para o item [i]d [/i]e[i] e [/i]corresponde ao encontrado.
Sabendo que o a aresta do cubo mede 1cm:
a) Calcule a área da seção que corresponde ao maior triângulo equilátero formado.
b) Calcule a área da seção quando ela é o hexágono regular formado por pontos médios das arestas.
Atividade 10: CAIXA DE VOLUME MÁXIMO
A) Modifique o tamanho do corte através do seletor “a”. Observe que o valor da medida do corte é o mesmo valor de ‘a’. O que ocorre com as dimensões da base e da altura da caixa quando muda o valor de ‘a’?
B) Como se comporta o volume da caixa conforme muda o tamanho do corte?
b1) Se o corte for grande, como será a forma da caixa resultante? O seu volume será grande ou pequeno?
b2) Se o corte for pequeno, como será a forma da caixa resultante? O seu volume será grande ou pequeno?
C) Utilizando o mesmo procedimento usado na ATIVIDADE 9, faça o gráfico que representa o volume da caixa em função da medida "a” de corte. Compare o gráfico obtido com a resposta dada no item b). As[br]informações dos itens b) estão de acordo com o gráfico?
D) Você consegue determinar qual o tamanho do corte ‘a’ quando a caixa tem volume máximo? Se sim, qual?
Exercício:
[br]1. Se a=7 qual o volume da caixa?
2. Escreva uma sentença matemática que expresse o volume da caixa construída em função do[br]tamanho “a” do corte efetuado.
3. Se o volume da caixa é 576 cm³ qual o tamanho do corte “a”?
A autora e a proposta
[justify] Sou professora e atuo na rede pública do RS, nos níveis fundamental e médio. Desde que comecei a atuar no ensino médio e, em especial, no ensino da Geometria Espacial, venho me questionando sobre o significado que ela assume para nossos alunos. Percebendo as inúmeras dificuldades que nossos alunos possuem ao transitar pela Geometria, sempre procurei novos recursos e metodologias que auxiliassem os alunos em seu desenvolvimento cognitivo: construção de maquetes, montagem de sólidos, atividades de modelagem, etc. [br] Baseada nesta inquietação pessoal e buscando inspiração nos conhecimentos adquiridos no decorrer do Mestrado em Ensino de Matemática, vi no uso da tecnologia e em especial, no software de Geometria Dinâmica Geogebra, uma possibilidade de potencializar o estudo da Geometria Espacial, tornando-o sim mais significativo e interessante aos olhos do aluno.[br] Assim, buscou-se, através do GeoGebra 3D, desenvolver habilidades espaciais e minimizar dificuldades observadas de forma recorrente junto aos alunos: a visualização e interpretação de representações de objetos tridimensionais. [br] Nesta dissertação, acima de tudo, se pretendeu descortinar as múltiplas possibilidades/oportunidades que a tecnologia nos oferece na busca de processos de ensino e aprendizagem realmente significativos em Geometria. O uso do GeoGebra 3D permitiu a exploração de representações muito próximas dos objetos reais e de uma rica variedade de representações de um mesmo objeto. Assim, a partir de seu uso, verificou-se a possibilidade de superar dificuldades quanto ao processo de representação mental destes objetos, essencial para a formalização dos conceitos em Geometria.[br] Hoje, são muitas as tentativas no sentido de promover um ensino significativo em Geometria. São muitos os trabalhos desenvolvidos e entendemos que estes precisam estar ao alcance dos professores que atuam nas salas de aula da Educação Básica. Para tanto, disponibilizamos este GeogebraBook com a sequência didática proposta no estudo: [b]GEOGEBRA 3D NO ENSINO MÉDIO: UMA POSSIBILIDADE PARA A APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA ESPACIAL, [/b]minha dissertação do Mestrado em Ensino de Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Sul e que estará disponível on-line para livre uso e acesso. [/justify][br]Caroline Borsoi[br]