FUNKCE
Přehled elementárních funkcí
Table of Contents
- DEFINICE FUNKCE
- DEFINICE FUNKCE
- ZADÁNÍ FUNKCE
- TABULKOU
- PŘEDPIS
- GRAF
- LINEÁRNÍ FUNKCE
- DEFINICE
- KONSTANTNÍ FUNKCE
- PŘÍMÁ ÚMĚRNOST
- OBECNÁ LINEÁRNÍ FUNKCE
- KVADRATICKÁ FUNKCE
- KVADRATICKÁ FUNKCE
- KVADRATICKÁ FUNKCE BEZ LINEÁRNÍHO ČLENU
- KVADRATICKÁ FUNKCE BEZ ABSOLUTNÍHO ČLENU
- OBECNÁ KVADRATICKÁ FUNKCE
- EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE
- ZADÁNÍ
- TYPY EXPONENCIÁLNÍCH FUNKCÍ
- LOGARITMICKÁ FUNKCE
- LOGARITMICKÁ FUNKCE
- NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST
- ZADÁNÍ
DEFINICE FUNKCE
FUNKCE
Funkce je množina uspořádaných dvojic reálných čísel (dále již jen čísla). Tato množina musí splňovat [b][color=#ff00ff]funkční kritérium[/color][/b], které ji odlišuje od jiných množin uspořádaných dvojic: [b]"Žádné číslo na první pozici [/b](toto číslo nazýváme vzorem) [b]nesmí být v uspořádané dvojici se dvěma různými čísly na druhé pozici [/b](těmto číslům říkáme obrazy). " Vzory a obrazy označujeme jako proměnné, vzory písmenem [b]x[/b] (nezávislé) a obrazy písmenem [b]y [/b](závislé).[br]Množinový zápis funkce obvykle nepoužíváme ve tvaru [b]f = {[1; 2], [3; 5], [10; 7]}[/b]. Místo něj uspořádané dvojice píšeme do tabulky:[br][b]f: [br][/b][table][tr][td][b]x[/b][/td][td][b]1[/b][/td][td][b]3[/b][/td][td][b]10[/b][/td][/tr][tr][td][b]y[/b][/td][td][b]2[/b][/td][td][b]5[/b][/td][td][b]7[/b][/td][/tr][/table][br]Řádek tabulky se vzory vytváří číselnou množinu [math]D\left(f\right)=\left\{1;3;10\right\}[/math]. Tato množina se nazývá [b]definiční obor[/b] funkce. Označuje se písmenem [b]D[/b], za které do závorky píšeme název funkce. Podobně druhý řádek tabulky vytváří množinu [math]H\left(f\right)=\left\{2;5;7\right\}[/math], která se nazývá [b]obor hodnot[/b] a označuje se písmenem [b]H[/b] a jménem funkce.[br][br][u]Jak si funkce představit[br][/u][br][i]Funkci si můžete představit jako stroj na výrobu čísel (např. kalkulačku). Do stroje jedno číslo zadáváme (číslo z definičního oboru, jinak vám stroj žádnou odpověď neposkytne) a stroj vám z něj vyrobí číslo jiné (na kalkulačce po zadání prvního čísla stisknete funkční klávesu, třeba [b]s druhou odmocninou[/b], a kalkulačka vám vyrobí a na displeji zobrazí druhé číslo). Z toho je patrné, proč se první proměnná nazývá [b]nezávislá proměnná[/b]. Toto číslo zadávám do kalkulačky podle potřeby já. Druhé číslo, které kalkulačka poskytne jako výsledek, závisí na mé volbě prvního čísla, a proto se proměnná [b]y[/b] nazývá [b]závislá[/b].[/i][br][br][br]
FUNKCE JAKO STROJ
TABULKOU
Tabulku pro zadání funkce využíváme pouze v případě, že celá funkce obsahuje jen několik málo uspořádaných dvojic reálných čísel. Z úvodní kapitoly víme, jak se v tomto případě množinový zápis nahradí tabulkou a jak se jednotlivé nově vzniklé množiny nazývají.[br]Např. funkci [b]f = {[1; 1], [2; 4], [3; 9]}[/b] nahradíme tabulkou[br][b]f:[br][/b][table][tr][td][b]x[/b][/td][td][b]1[/b][/td][td][b]2[/b][/td][td][b]3[/b][/td][/tr][tr][td][b]y[/b][/td][td][b]1[/b][/td][td][b]4[/b][/td][td][b]9[/b][/td][/tr][/table][br][b]Tabulku používáme pro přehledné vypsání hodnot funkce.[/b]
DEFINICE
Lineární funkce je definována obecným předpisem [math]f:y=ax+b[/math]. Lineární funkcí se nazývá, protože proměnná x je v předpisu funkce v první mocnině a grafem je obvykle "linea" - linka, čára, linie. Předpis dále obsahuje koeficienty [b]a[/b] a [b]b[/b], což jsou reálná čísla. Číslo[b] a[/b] se nazývá koeficient lineárního členu nebo [b]směrnice[/b]. Číslo [b]b[/b] se nazývá absolutní člen. Grafickým znázorněním lineární funkce je přímka nebo její část. Podle hodnot koeficientů dále dělíme lineární funkce na tři základní typy.
KVADRATICKÁ FUNKCE
ZADÁNÍ
Kvadratickou funkcí rozumíme funkci, která vyhovuje předpisu [math]f:y=ax^2+bx+c[/math]. Kvadratickou jí nazýváme pro druhou mocninu (kvadrát), ve kterém se nachází proměnná x. V předpisu kvadratické funkce nacházíme tři reálná čísla (koeficienty). Na jejich zadání závisí průběh grafu dané funkce. Koeficient [b]a[/b] je koeficientem kvadratického členu a musí být zadán vždy jako nenulové číslo. Koeficient [b]b [/b]je koeficientem lineárního členu a [b]c[/b] je absolutní člen. Poslední dva koeficienty [b]a[/b] a [b]b[/b] nemusí být nutně v předpisu kvadratické funkce zadány. Jejich přítomnost či nepřítomnost ovlivňuje polohu a typ grafu.
GRAF
Grafem kvadratické funkce je vždy parabola nebo její část. Parabola je křivka, která vzniká na řezu kužele, jak můžete vidět na následujícím obrázku. Parabolu sestrojíme vždy, když budeme znát její vrchol a způsob, jakým se "otevírá". Pro hledání souřadnic vrcholu paraboly používáme vzorec [math]v_x=\frac{-b}{2a}[/math] a výpočet funkční hodnoty [math]v_y=f\left(v_x\right)[/math]. Pro přesný graf rýsovaný pomocí šablony si ještě sestrojím osu paraboly. Osa je přímka procházející vrcholem paraboly, která je v případě kvadratické funkce kolmá na [b]osu x[/b].
Kuželosečky
ZADÁNÍ
Exponenciální funkcí v základním tvaru budeme rozumět funkci [math]f:y=a^x[/math]. Číslo [b]a[/b] v předpisu exponenciální funkce nazýváme [b]základ[/b], jeho hodnota je omezena pouze na kladná reálná čísla mimo číslo jedna (to je proto, že v hodnotách funkce se vyskytují odmocniny, které by záporný základ nebyly definovány a v případě jedničky by vznikla konstantní funkce). Pro danou funkci je [b]a[/b] stanoveno pevně a dále se nemění. V tabulce si ukážeme hodnoty exponenciální funkce [math]f:y=2^x[/math]:[br][table][tr][td]x[/td][td][math]-2[/math][/td][td][math]-1[/math][/td][td][math]0[/math][/td][td][math]1[/math][/td][td][math]2[/math][/td][/tr][tr][td]y[/td][td][math]\frac{1}{4}[/math][/td][td][math]\frac{1}{2}[/math][/td][td][math]1[/math][/td][td][math]2[/math][/td][td][math]4[/math][/td][/tr][/table]jejich výpočet byl proveden následovně:[br][math]f\left(-2\right)=2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}[/math][br][math]f\left(-1\right)=2^{-1}=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}[/math][br][math]f\left(0\right)=2^0=1[/math][br][math]f\left(1\right)=2^1=2[/math][math]f\left(2\right)=2^2=4[/math].[br][br]V exponentu funkce se může vyskytnou libovolné reálné číslo, definičním oborem D(f) jsou obecně všechna reálná čísla. S menšími problémy se setkáváme pokud je exponent ve tvaru zlomku. Ukážeme si několik příkladů výpočtu se stejným zadáním exponenciální funkce.[br][math]f\left(\frac{1}{2}\right)=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}[/math][br][math]f\left(\frac{5}{4}\right)=2^{\frac{\frac{5}{ }}{4}}=\sqrt[4]{2^5}[/math][br][math]f\left(-\frac{1}{2}\right)=2^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/math][br][br]Oborem hodnot exponenciální funkce v základním tvaru jsou všechna kladná reálná čísla. Následující applet ukazuje graf naší funkce [img]data:image/png;base64,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[/img].[br][br][br]
LOGARITMICKÁ FUNKCE
ZADÁNÍ, POPIS A GRAF
Logaritmická funkce byla vytvořena jako inverzní funkce k funkci exponenciální. Obě dvě funkce k sobě neodmyslitelně patří. Pro naše matematické představy je musíme pro danou chvíli "[i]udržet v hlavě pohromadě[/i]". Jak vytvoříme inverzní funkci k exponenciální funkci [math]f:y=2^x[/math]? Jednoduše! Nejprve si vytvoříme tabulku funkčních hodnot funkce f.[br]f:[br][table][tr][td]x[/td][td]-1[/td][td]0[/td][td]1[/td][td]2[/td][/tr][tr][td]y[/td][td]1/2[/td][td]1[/td][td]2[/td][td]4[/td][/tr][/table][br]Jak víme, obsahuje inverzní funkce stejné řádky čísel, jen v obráceném pořadí.[br]f[sup]-1[/sup]:[br][table][tr][td]x[/td][td]1/2[/td][td]1[/td][td]2[/td][td]4[/td][/tr][tr][td]y[/td][td]-1[/td][td]0[/td][td]1[/td][td]2[/td][/tr][/table][br]Také víme, že grafy obou funkcí jsou vzájemně symetrické podle osy I. a III. kvadrantu (y=x). V následujícím appletu se o tom přesvědčte.
Pro popis inverzní funkce zavádíme výraz[b] log[sub]a[/sub]x[/b]. Číslo [b]a[/b] je základ logaritmu a [b]x[/b] je argument logaritmu. Základ logaritmu je stejné číslo jako základ inverzní exponenciální funkce. Při hledání hodnot logaritmické funkce je nutné vědět, co dělám! Například při výpočtu [math]log_28[/math] se v duchu ptám: "[i]Na co umocním číslo 2, abych získal 8."[/i] Odpovím si: "[i]Na třetí.[/i]" Výsledek úvahy zapíši [math]log_28=3[/math]. Ještě si v následujícím appletu ukážeme klesající exponenciální funkci a k ní inverzní funkci logaritmickou.
DEFINIČNÍ OBOR A OBOR HODNOT
Jak víme mají inverzní funkce vzájemně prohozené definiční obory a obory hodnot. Pokud znáte tyto množiny pro exponenciální funkci, je pro vás hračkou doplnit je pro funkci logaritmickou v základním tvaru.[br][math]D\left(f\right)=\left(0;\infty\right)[/math] a [math]H\left(f\right)=\mathbb{R}[/math].
ZADÁNÍ
Funkce nepřímá úměrnost je dána předpisem [math]f:y=\frac{k}{x}[/math]. Číslo [b]k[/b] je reálné číslo různé od nuly a určuje polohu grafu v nákresně. Definičním oborem, pokud není zadáno jinak, je [math]\mathbb{R}-\left\{0\right\}[/math]. Grafem nepřímé úměrnosti je rovnoosá hyperbola, která vždy prochází bodem [math]\left[k;1\right][/math] nebo její část. Závislost polohy grafu na parametru [b]k[/b] si ukážeme v následujícím appletu. [b]Osa x[/b] a [b]osa y[/b] jsou [b]asymptoty [/b]grafu funkce (graf se k přímkám "přibližuje", ale nikdy je neprotne).