Soit un triangle sphérique [math]ABC[/math]. Appliquons la loi des cosinus au triangle polaire :[br][br][center][math]\begin{align}\cos(a')&= \cos(b')\cos(c') + \sin(b')\sin(c') \cos(A')\\ \cos(180\degree-A)&= \cos(180\degree-B)\cos(180\degree-C) + \sin(180\degree-B)\sin(180\degree-C) \cos(180\degree-a)\\ -\cos(A)&= (-\cos(B))(-\cos(C)) + \sin(B)\sin(C) (-\cos(a))\\ \end{align} [/math][/center]car [math]\cos(180\degree-x)=-\cos(x)[/math] et [math]\sin(180\degree-x)=\sin(x)[/math], comme vous l'aviez démontré à la première étape de la session. Après ajustement des signes, on trouve la [b]loi des cosinus sphérique pour les angles[/b] :[br] [br][center][math]\boxed{\cos(A)= -\cos(B)\cos(C) + \sin(B)\sin(C) \cos(a)}[/math][/center]

Le triangle polaire étant lui-même un triangle sphérique, les résultats qui s'appliquent à des triangles sphériques s'appliquent évidemment au polaire. Mais les côtés du polaire étant en quelque sorte les angles du triangle d'origine, et vice-versa, les résultats appliqués au polaire produisent de nouveaux résultats dans lesquels les angles et les côtés du triangle d'origine sont inversés. On a donc deux résultats pour le prix d'un!

Nous avions remarqué que la somme des angles d'un triangle sphérique semble toujours supérieure à [math]180\degree[/math]. Prouvons-le![br][br]Nous avons montré précédemment que [math]a+b+c < 360\degree[/math]. Ce résultat tient pour le triangle polaire :[br][br][center][math]\begin{eqnarray}&a'&+&&b'&+&c' &<& 360\degree \\ &\left(180\degree - A\right)&+&&\left(180\degree - B\right)&+&\left(180\degree - C\right) &<& 360\degree\end{eqnarray}[/math][/center]d'où, en simplifiant :[br][center][math]\boxed{180\degree < A+B+C}[/math][/center]