On appelle [math]h_{^{^{_{_{_{_{^A}}}}}}}[/math] l'homothétie de centre A et de rapport 1/2.[br]Comme C' est le milieu du segment [AB], l'image du point B par l'homothétie [math]h_A[/math] est le point C'.[br]Comme B' est le milieu du segment [AC], l'image du point C par l'homothétie [math]h_A[/math]est le point B'.[br]On en déduit que l'image du segment [BC] par l'homothétie [math]h_A[/math] est le segment [B'C'] et B'C' = BC/2.[br][br]On appelle [math]h_B[/math] l'homothétie de centre B et de rapport 1/2.[br]Comme A' est le milieu du segment [BC], l'image du point C par l'homothétie [math]h_B[/math] est le point A'.[br]Comme C' est le milieu du segment [AB], l'image du point A par l'homothétie [math]h_B[/math]est le point C'.[br]On en déduit que l'image du segment [AC] par l'homothétie [math]h_B[/math] est le segment [A'C'] et A'C' = AC/2.[br][br]On appelle [math]h_C[/math] l'homothétie de centre C et de rapport 1/2.[br]Comme A' est le milieu du segment [BC], l'image du point B par l'homothétie [math]h_C[/math] est le point A'.[br]Comme B' est le milieu du segment [AC], l'image du point A par l'homothétie [math]h_C[/math]est le point B'.[br]On en déduit que l'image du segment [AB] par l'homothétie [math]h_C[/math] est le segment [A'B'] et A'B' = AB/2.[br][br]On a donc A'B' = AB/2, A'C' = AC/2 et B'C' = BC/2 : les longueurs des côtés des triangles ABC et A'B'C' sont proportionnelles (le rapport de réduction étant 1/2), donc les triangles ABC et A'B'C' sont semblables.

[b][u]Théorème de la droite des milieux[/u][/b] : [br]Dans un triangle la droite qui joint les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté.[br][br]On applique ce théorème 3 fois : [br][list][*]A' est le milieu de [BC] et B' est le milieu de [AC], donc (A'B') est parallèle à (AB).[/*][*]A' est le milieu de [BC] et C' est le milieu de [AB], donc (A'C') est parallèle à (AC).[/*][*]B' est le milieu de [AC] et C' est le milieu de [AB], donc (B'C') est parallèle à (BC).[/*][/list]Les angles correspondants [math]\widehat{ BAC}[/math] et [math]\widehat{A'B'C}[/math] déterminés par les droites parallèles (C'B') et (BC) et la sécante (AC) sont de même mesure.[br][br]Les angles alternes-internes [math]\widehat{A'B'C}[/math] et [math]\widehat{B'A'C}[/math] déterminés par les droites parallèles (B'A') et (AB) et la sécante (B'A') sont de même mesure.[br][br]On a donc [math]\widehat{BAC}=\widehat{A'B'C}=\widehat{B'A'C}[/math].[br][br]Les angles correspondants [math]\widehat{ABC}[/math] et [math]\widehat{AC'B'}[/math] déterminés par les droites parallèles (BC) et (C'B') et la sécante (AB) sont de même mesure.[br]Les angles alternes-internes [math]\widehat{AC'B'}[/math] et [math]\widehat{A'B'C'}[/math] déterminés par les droites parallèles (C'B') et (BC) et la sécante (B'C') sont de même mesure.[br][br]On a donc : [math]\widehat{ABC}=\widehat{AC'B'}=\widehat{A'B'C'}[/math][br][br]Les triangles ABC et A'B'C' ayant deux angles deux à deux de même mesure ([math]\widehat{BAC}=\widehat{B'A'C}[/math] et [math]\widehat{ABC}=\widehat{A'B'C'}[/math]) sont donc semblables.