[size=150][b][u]Vorbemerkung[/u][/b][/size][font=Arial, sans-serif][br]Inden klassischen Unterrichtseinheiten zu den Exponentialfunktionen[br]wird für die Schüler oft nicht wirklich transparent, wieso man[br]ständig die "seltsame" Basis e verwendet.[/font][br][br][font=Arial, sans-serif]Dievorliegenden Materialien sollen ermöglichen, diese Frage im[br]Unterricht zum Thema zu machen, ohne allzu viel Zeit dafür aufwenden[br]zu müssen. Aus diesem Grund sind die Materialien vorwiegend nicht[br]zum selbstständigen Erarbeiten gedacht sondern eignen sich am besten[br]dafür, im Rahmen eines Lehrervortrags vorgeführt zu werden. Die[br]interaktiven Arbeitsblätter sind dennoch so formuliert, dass sie[br]sich an den Schüler wenden. Somit sind sie auch als[br]Differenzierungsmaterial für starke Schüler verwendbar, die sich[br]das Thema selbstständig erarbeiten wollen.[/font][br][br][br][size=150][b][u]Erforderliches Vorwissen[/u][/b][/size][font=Arial, sans-serif][br]DieSchüler sollten Exponentielles Wachstum bereits aus früheren[br]Schuljahren kennen. Auch die Exponentialfunktionen der Form f(x) = b[br]a[/font][sup][font=Arial, sans-serif]x [/font][/sup][font=Arial, sans-serif]solltenbereits bekannt sein: Die Schüler sollten wissen, wie der Graph[br]verläuft und welche Auswirkungen die beiden Parameter a und b auf[br]den Verlauf haben. [/font][br][br][br][br][size=150][u][b]Verlauf[/b][/u][/size][br][br][font=Arial, sans-serif][b]Schritt1:[/b][/font][br][font=Arial, sans-serif][b]WeitereMöglichkeiten kennen lernen, wie Exponentialfunktionen mit[br]Parametern modifiziert werden können[/b][/font][br][font=Arial, sans-serif]Fürdiesen Teil ist es sinnvoll, vorher die Zusammenfassung[br][i][url=https://www.dropbox.com/s/ov0epnjmp57g4fu/Zusammenfassung%20_Exponentialfunktionen.doc?dl=0]Zusammenfassung _Exponentialfunktionen.doc[/url] [/i]auzuteilen.[/font][br][font=Arial, sans-serif]MitHilfe der GeoGebra-Dateien im Kapitel 2 werden zunächst die bereits bekannten Modifikationen (Änderung der[br]Basis, vertikale Streckung und Verschiebung des Graphen) vorgeführt.[br]Dann folgen horzizontale Verschiebung und Streckung und evtl. die[br]Kombination aus allen Aspekten.[/font][br][font=Arial, sans-serif]EineVerknüpfung mit Vorwissen aus dem Bereich der Quadratischen[br]Funktionen ist dabei außer bei der horizontalen Streckung möglich.[/font][br][br][br][br][font=Arial, sans-serif][b]Schritt2:[/b][/font][br][font=Arial, sans-serif][b]Erkennen,dass man jede beliebige Exponentialfunktion mit einer einzigen fest[br]vorgegebenen Basis darstellen kann.[/b][/font][br][font=Arial, sans-serif]DieserSchritt kann wahlweise im Lerhrervortrag oder von den Schülern in[br]Eigenarbeit mit Hilfe des interaktiven Arbeitsblatts[br][i]7_feste_Basis.htm[/i] ausdem Ordner [i]Modifizierte_Expfkt[/i]vollzogen werden.[/font][br][font=Arial, sans-serif]Allenotwendigen Informationen sind im interaktiven Arbeitsblatt zu[br]finden.[/font][br][br][br][br][font=Arial, sans-serif][b]Schritt3:[/b][/font][br][font=Arial, sans-serif][b]Erkennen,dass die Ableitung einer Exponentialfunktion wieder eine[br]Exponentialfunktion ist[/b][/font][br][font=Arial, sans-serif]Durchdiesen Schritt führt das interaktive Arbeitsblatt[br][i]Exp_Funktion_Ableitung.htm[/i].[/font][br][font=Arial, sans-serif]Mitgrafischen Mitteln werden die Ableitungsfunktionen von[br]Exponentialfunktionen gebildet. Dabei wird deutlich, dass für f(x) =[br]a[sup]x [/sup]gilt:f'(x) = b*a[sup]x[/sup].Der Streckfaktor b wird grafisch bestimmt.[/font][br][br][br][br][font=Arial, sans-serif][b]Schritt4:[/b][/font][br][font=Arial, sans-serif][b]DieEulersche Zahl als diejenige Basis bei der gilt: f'(x) = f(x)[/b][/font][br][font=Arial, sans-serif]Durchdiesen Schritt führt das interaktive Arbeitsblatt[br][i]natuerliche_Exp_Funktion.htm[/i].[/font][br][font=Arial, sans-serif]Durchgezieltes Probieren mit den Mitteln aus Schritt 3 wird diejenige[br]Basis bestimmt, für die der Streckfaktor b (s. Schritt 3) der[br]Ableitung 1 ist, das heißt, für die Funktion und Ableitungsfunktion[br]identisch sind.[/font][br][br][br][br][font=Arial, sans-serif][b]Schritt5:[/b][/font][br][font=Arial, sans-serif][b]Zusammenführung[/b][/font][br][font=Arial, sans-serif]FolgendeErkenntnisse werden abschließend im Lehrervortrag zusammengeführt:[/font][br][list][*][font=Arial, sans-serif]Eine Exponentialfunktion der Form f(x) = a[/font][sup][font=Arial, sans-serif]x [/font][/sup][font=Arial, sans-serif]ist schwierig abzuleiten. Wir müssten das über den[br] Differenzialqoutienten tun.[/font][br] [/*][*][font=Arial, sans-serif]Eine Exponentialfunktion mit Basis e ist leicht abzuleiten (f ' = f).[br] Selbst wenn sie mit Parametern modifiziert wurde, geht es mit Hilfe[br] der Kettenregel noch recht einfach.[/font][br] [/*][*][font=Arial, sans-serif]Jede Exponentialfunktion lässt sich mit der Basis e darstellen.[/font][br] [/*][*][font=Arial, sans-serif]Da liegt es nahe, nur noch mit Funktionen zur Basis e zu arbeiten,[br] sobald eine Ableitung benötigt wird. Hierin liegt die große[br] Bedeutung der e-Funktionen.[/font][br][/*][/list]